Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

y
x
y
x
y
x
3
11
7
8
3
5
7
 
sistemaning yechimini topish kifoya. 
Bu sistema  ushbu 
5(mod 7)
5(mod 7)
3
7(mod8)
5(mod8)
11(mod 3)
11(mod 3)
x
x
x
x
x
x

















 taqqoslamalar sistemasiga 
teng  kuchli.  Endi  shu  taqqoslamalar  sistemasini    yechamiz.  Sistemaning  1-
taqqoslamasidan
           
 
   
 
      Buni   2-taqqoslamaga olib borib qo‘yib,   
 
  ni 
aniqlaymiz: 
      
 
              
 
              
 
              
 
 
  
 
    
 
      
 
  ning  topilgan  qiymatini
  ning ifodasiga olib borib qo`ysak,        
   
 
    
 
     hosil  bo‘ladi.   ning  bu  qiymatini  3-taqqoslamaga  qo‘yib     
 
ni 
aniqlaymiz: 
        
 
               
 
              
 
    
 
   
 
     Buni    
ning  ifodasiga  qo‘yib
              
 
   
 
     ga  ega  bo‘lamiz.  Demak,  abtsitsalari 

---

 
 
174 
 
o‘qining 
            
 
   
 
     nuqtasidan        o‘qiga  chiqarilgan  perpendikulyar  
berilgan chiziqlarni butun koordinatali nuqtalarda kesadi. 
     a).           va           bo‘lgani uchun masala shartiga ko‘ra 
                                     taqqoslamalar o‘rinli bo‘lishi kerak. 8 
ga  bo‘linish  belgisiga  asosan  birinchi  taqqoslamadan 
                      
 
 
                             
 
                                     
                                   Bu  yerda     raqam  bo‘lganligi  uchun     
                 ning  bu  topilgan  qiymatlarni    yuqoridagi  2-taqqoslamaga 
qo‘yib
                   va                   larni hosil qilamiz. Bularning 
birinchisidan: 
      
 
        
 
        
 
        
 
                             
 
 
       
 
       
 
       
 
                                     
 
             
                                                                    
              Bundan   
 
      
 
     Endi ikkinchi  taqqoslamani yechamiz: 
      
 
        
 
        
 
        
 
                               
 
     
 
 
       
 
                             
 
                              
                           Bundan  
 
     Endi   ning topilgan qiymatlarini 
olib borib oqiga qo‘ysak, 
                       sonlarini hosil bo‘ladi. 
с) Shartga ko‘ra 
 
{
                 
                  
                
  bajariladi.  
 
1-taqqoslamadan  
        
 
                          
 
                
                                                                                         . 
 2-taqqoslamadan  
        
 
                            
 
                       
                                                                                                                       
(1) va (2) taqqoslamalarni birgalikda yechib 
    ni aniqlaymiz. (1) dan       
      
 
       
 
      Buni (2)ga olib borib qoyamiz. U holda  
      
 
                
 
                  
 
                 
 
 
             
 
               
 
         
 
   
 
      Demak,                
   
 
          
 
   
 
     Bundan                  larda uch xonali sonlar 
  
                                                                                                   (3) 
sonlarini hosil qilamiz. Endi 3-taqqoslamaga qaraymiz . 

---

 
 
175 
 
      
 
    
 
        
 
        
 
                        
                                                            
                     
 
   
 
                                                                                                              
bu  yerda 
         lar  raqamlar  bo‘lganligi  uchun                      bo‘lganligi 
uchun  (4)  dan 
       va         da                                   larni  hosil 
qilamiz. Endi (3) sonlar ketma-ketligidan shu shartlarni qanoatlantiruvchilarini ajratib 
olamiz. Ular 
         Demak, izlanayotgan sonlar                    
c).
                  va shart bo‘yicha                       Bu oxirgi 
taqqoslama 
{
                  
                   
                   
  taqqoslamalar sistemasiga  teng  kuchli.  
1-taqqoslamadan 8 ga bo‘linish belgisiga asosan 
                          
                                            2 va  3- taqqoslamalarga qo‘ysak: 
{
                  
                   
 hosil bo‘ladi. 9 ga bo‘linish belgisiga asosan  bu yerdagi  
1-taqqoslamadan 
                                               
2- taqqoslamadan 
       
 
        
 
        
 
        
 
              
                                                                      
                    Bulardan   va   lar raqam bo‘lganligi uchun {
         
           
                                izlanayotgan son        . 
     a). 2-taqqoslamadan           
 
  u holada buni 1-taqqoslamaga qo‘ysak 
                                                  
                  
 
            
 
   
 
     
 
b).
{
                
                   
   
1-taqqoslamadan 
                                                      
Bundan va berilgan sistemadan quyidagi 3 ta  sistemani hosil qilamiz: 
{
             
               
   {
             
               
   {
              
               
  Bular mos 
ravishda quyidagi  sistemalarga teng kuchli: 
{
             
              
  {
             
              
  {
              
               
 Shunday qilib yechimlar 
:
{
      
                        {
      
                           {
      
               ). 
c).
 {
            
                  {
            
               
 

---

 
 
176 
 
bu yerdagi ikkinchi taqqoslamada 
            lekim   soni   ga bo‘linmaydi, 
taqqoslama yechimga ega emas. Shuning uchun sistema ham yechimga ega emas. 
 
d).
 {
               
                   
  {
             
                   
  
 
{
             
                   
  {
             
                   
 
 
  {
            
                   
 
  {
                  
                    
 
 
Bundan   
{
             
                   
  {
 
           
               
 
Bu yerda 2-taqqoslama yechimga ega emas. 
{
     
                .  Bu yerda ham 2-taqqoslama yechimga ega emas. 
{
              
                  {
              
                 {
              
            
   
 
{
              
                  
   
 
Demak, yechimlar  
{
             
              
  {
             
              
  
{
              
              
  
 
e).
{
                   
                  {
                   
             
  
 
{
                   
            
  {
                   
                   
  Bundan 
 
{
               
              
 Bu yerda 
          , lekin 16 soni 3 ga bo‘linmaydi,  
ya‘ni sistema yechimga ega emas. 
{
             
               
  {
             
              
  {
             
             
  
 

---

 
 
177 
 
{
             
                   
  Bundan  yechimlar  
 
{
             
             
   {
             
             
   {
             
              
 bo‘lar ekan. 
 
     a).{
                 
                 
 dagi ikkinchi taqqoslamaning  ikkala tomonini 2 ga 
(2,5)=1 ko‘paytiramiz, ularni hadlab ayiramiz. U holda 
                       
                       ni hosil qilamiz. Buni berilgan sistemaga 
qo‘ysak
                                                          kelib 
chiqadi. Demak yechim
 
{
            
             
 
b).
{
                 
                  
 sistemadagi taqqoslamalarni hadlab ayiramiz. U 
holda
                                Buni berilgan sistemaga qo‘ysak        
                                                             kelib 
chiqadi. Demak, yechim