Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Javob: 
                                                                     
           
296. 1).7 moduli bo‘yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini absolyut qiymati 
jihatidan  eng  kichik  qilib  olsak, 
            lardan  iborat.  Bularni  berilgan 
taqqoslama 
 
 
           ga  qo‘yib  tekshirsak,                ning  uni 
qanoatlantirishini ko‘ramiz. Javob: 
              
2).  7  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasini  absolyut  qiymati 
jihatidan  eng  kichik  qilib  olsak,
            lardan  iborat.  Bularni  berilgan 
taqqoslama 
 
 
         ga  qo‘yib  tekshirsak,                ning  uni 
qanoatlantirishini ko‘ramiz. Javob: 
              
3).  7  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasini  absolyut  qiymati 
jihatidan  eng  kichik  qilib  olsak,
             lardan  iborat.  Bularni  berilgan 
taqqoslama 
 
 
         ga  qo‘yib  tekshirsak,  ularning  birortasi  ham  uni 
qanoatlantirmasligini ko‘ramiz. Javob: taqqoslama yechimga ega emas. 

---

 
 
220 
 
4).  13  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasini  absolyut  qiymati 
jihatidan  eng  kichik  qilib  olsak,
                          lardan  iborat.  Bularni 
berilgan  taqqoslama 
 
 
          ga qo‘yib tekshirsak,              ning uni 
qanoatlantirishini ko‘ramiz. Javob: 
               
5).  11  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  keltirilgan  sistemasini  absolyut  qiymati 
jihatidan  eng  kichik  qilib  olsak,
                      lardan  iborat.  Bularni berilgan 
taqqoslama 
 
 
          ga  qo‘yib  tekshirsak,                 ning  uni 
qanoatlantirishini ko‘ramiz. Javob: 
               
297.  Lejandr  simvolining  qiymatini  hisoblash  uchun  uning  xossalaridan 
foydalanamiz.  
1).
(
  
   
)   (
 
 
  
   
) dan  
 
 xossaga asosan (
 
 
  
   
)   (
 
 
   
)   (
 
   
) ni hosil qilamiz. 
Ta‘rifga  ko‘ra 
(
 
 
   
)   (
 
   
)
 
   ,  shuning  uchun  ham  (
 
 
  
   
)   (
 
   
).  Oxirgi 
tenglikning  o‘ng  tomoniga  kvadratik  chegirmalarning  o‘zgalik  qonuni 
 
 
 xossani 
qo‘llaymiz.  U  holda   
(
 
   
)       
     
 
 
   
 
(
   
 
)     (
      
 
)  hosil  bo‘ladi.  Bu 
yerda 
 
 
 xossadan  foydalansak,    (
 
   
)     (
 
 
)  ekanligi  kelib  chiqadi.  Bu 
tenglikning  o‘ng  tomonida  yana  bir  marta 
 
 
 xossadan  foydalanamiz:  (
 
   
)  
  (
 
 
)        
   
 
 
   
 
(
 
 
)     (
     
 
)     (
 
 
)   
 Bunga 
 
 
 
                                 (
 
 
)        
    
 
=1. 
Demak,  
(
  
   
)      Javob:1. 
2).
(
  
  
)   (
   
  
)  dan   
 
 xossaga  asosan  (
   
  
)   (
 
  
)   (
 
  
)  ni  hosil  qilamiz. 
Oxirgi  tenglikning  o‘ng  tomonida    har  bir  ko‘paytuvchi  uchun  kvadratik 
chegirmalarning  o‘zgalik  qonuni 
 
 
 xossani  qo‘llaymiz.  U  holda    (
 
  
)   (
 
  
)  
    
    
 
 
   
 
  (
  
 
)       
    
 
 
   
 
  (
  
 
)   (
  
 
)   (
  
 
)   (
      
 
)   (
      
 
) 
hosil 
bo‘ladi.  Bu  yerda 
 
 
 xossadan  foydalansak,    (
 
 
)   (
 
 
)  ekanligi  kelib  chiqadi.  Bu 
tenglikning  o‘ng  tomonidagi  birinchi  ko‘paytuvchiga 
 
 
                      
ikkinchisini esa 
(
 
 
)   (
 
 
) (
 
 
)  deb yozish mumkin. Shuning uchun ham (
 
 
)   (
 
 
)  
    
    
 
      
    
 
  (
 
 
)            (
 
 
)     (
 
 
)  ga  ega  bo‘lamiz.  Bu  tenglikning 
o‘ng 
tomonida 
 
yana 
bir 
marta 
 
 
 xossadan 
foydalanamiz: 
  (
 
 
)        
   
 
 
   
 
(
 
 
)   (
     
 
)   (
 
 
)       Demak,  (
  
  
)    .  Javob: 1. 

---

 
 
221 
 
3).
(
  
  
) dan  
 
 xossaga asosan     
    
 
 
    
 
  (
  
  
)   (
       
  
) ni hosil qilamiz. 
Bu  yerda 
 
 
 xossadan  foydalansak,    (
       
  
)   (
  
  
)   (
 
  
) (
  
  
)    ekanligi  kelib 
chiqadi.  Bu  tenglikning  o‘ng  tomonidagi  birinchi  ko‘paytuvchiga 
 
 
            
ikkinchisiga  esa 
 
 
 xossani              (
 
  
) (
  
  
)=    
     
 
      
    
 
 
    
 
(
  
  
)  
(
  
  
)   (
      
  
)  deb  yozish  mumkin.  Bu  yerda   
 
 xossadan  foydalansak,  (
 
  
)  
(
 
 
  
  
)   (
 
 
  
)   (
 
  
)   (
 
  
)   Shuning  uchun  ham  (
 
  
)       
     
 
      ga  ega 
bo‘lamiz.  Demak,  
(
  
  
)     .  Javob: -1. 
 
4).
(
  
   
)  dan   
 
 xossaga  asosan      
     
 
 
    
 
  (
   
  
)   (
       
  
)  ni  hosil 
qilamiz.  bo‘ladi.  Bu  yerda 
 
 
 xossadan  foydalansak,    (
       
  
)   (
 
  
)   (
 
  
)  
(
 
  
) ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi ko‘paytuvchiga 
 
 
            ikkinchisiga  esa   
 
 xossani               (
 
  
)   (
 
  
)=    
     
 
 
    
   
 
 
    
 
(
  
 
)   (
  
 
)   (
     
 
)  deb  yozish  mumkin.  Bu  yerda   
 
 xossadan 
foydalansak, 
(
     
 
)   (
 
 
)       
    
 
      Demak,  (
  
   
)     . Javob: -1. 
5).
(
   
   
) dan  
 
 xossaga asosan     
     
 
 
     
 
  (
   
   
)   (
   
   
)   (
         
   
)  
(
   
   
)   (
    
   
)   (
  
   
)   (
 
   
) ni hosil qilamiz. bo‘ladi. Bu tenglikning o‘ng 
tomonidagi  ikkala ko‘paytuvchiga ham 
 
 
 xossani              U holda (
  
   
)  
(
 
   
)       
    
 
 
     
 
  (
   
  
)       
   
 
 
     
 
  (
   
 
)   (
   
  
)   (
   
 
)   (
       
  
)  
(
      
 
)  Bu yerda  
 
 xossadan foydalansak (
       
  
)   (
      
 
)   (
  
  
)   (
 
 
)  
(
  
  
)   Endi bunga yana  
 
 xossani qo‘llaymiz. U holda  (
  
  
)       
    
 
 
    
 
 
(
  
  
)   (
  
  
)   (
       
  
)  Bunga  
 
 xossani tadbiq etsak, (
       
  
)   (
  
  
)  
(
   
 
  
)   (
 
  
)   (
 
 
  
)   (
 
  
)  Endi oxirgi tenglikning o‘ng tomoniga  
 
           
qo‘llab 
(
 
  
)       
     
 
      Demak,  (
   
   
)     . Javob: -1. 
6).  Lejandr  simvolining  qiymatini  hisoblash  uchun  uning  xossalaridan 
foydalanamiz. Yuqoridagi misollarning ishlanishiga qarang. 

---

 
 
222 
 
(
   
   
)  
⏞
 
 
    
     
 
 
     
 
  (
   
   
)   (
   
   
)   (
        
   
)  
⏞
 
 
(
  
   
)   (
    
   
)  
⏞
 
 
(
 
   
)  
(
  
   
)   
⏞
 
 
    
   
 
 
     
 
  (
   
 
)       
    
 
 
     
 
  (
   
  
)   (
   
 
)   (
   
  
)   (
      
 
)  
(
        
  
)  
⏞
 
 
(
 
 
)   (
  
  
)  
⏞
 
 
    
    
 
  (
   
  
)     (
 
  
)   (
 
  
)  
⏞
 
 
  
 
      
     
 
 
    
    
 
 
   
 
(
  
 
)   (
  
 
)   (
     
 
)  
⏞
 
 
(
 
 
)   (
 
 
 
)      Javob:1. 
7).  Lejandr  simvolining  qiymatini  hisoblash  uchun  uning  xossalaridan 
foydalanamiz. Yuqoridagi misollarning ishlanishiga qarang. 
(
   
   
)  
⏞
 
 
    
     
 
 
     
 
  (
   
   
)   (
   
   
)   (
        
   
)  
⏞
 
 
(
  
   
)   (
 
 
  
   
)  
 
⏞
 
 
(
 
 
   
)   (
 
   
)   
⏞
 
 
    
   
 
 
     
 
  (
   
 
)     (
   
 
)  
  (
      
 
)  
⏞
 
 
  (
 
 
)  
⏞
 
 
     
    
 
      Javob:1. 
8).Lejandr 
simvolining 
qiymatini 
hisoblash 
uchun 
uning 
xossalaridan 
foydalanamiz. Yuqoridagi misollarning ishlanishiga qarang. 
(
   
   
)   (
   
 
   
   
)  
⏞
 
 
(
 
   
)   (
 
 
   
)   (
  
   
)   (
 
   
)   (
  
   
)  
⏞
 
 
  
 
    
      
 
 
    
     
 
 
    
 
  (
   
  
)     (
   
  
)     (
        
  
)  
⏞
 
 
  (
  
  
)     (
 
 
  
  
)  
⏞
 
 
  (
 
 
  
)  
(
 
  
)     (
 
  
)   
⏞
 
 
      
   
 
 
    
 
  (
  
 
)   (
  
 
)   (
     
 
)  
⏞
 
 
(
 
 
)      Javob:1. 
298.  1).Lejandr  simvolidan  foydalanib,  berilgan 
 
 
           taqqoslamaning 
yechimga  ega  yoki  ega  emasligini  aniqlashimiz  kerak  va  yechimlari  bo‘lsa  uni 
topishimiz  kerak.  Avvalo,  berilgan 
 
 
           taqqoslamaning  yechimga  ega 
yoki ega emasligini aniqlaymiz. Buning uchun 
(
 
 
) ning qiymatini aniqlaymiz.  
(
 
 
)   (
 
 
)   (
 
 
)       
    
 
  (
 
 
)   (
 
 
)       
   
 
 
   
 
  (
 
 
)     (
     
 
)  
  (
 
 
)       Demak, berilgan taqqoslama yechimga ega emas. 
Javob: berilgan taqqoslama yechimga ega emas. 
2).  Lejandr  simvolidan  foydalanib,  berilgan 
 
 
            taqqoslamaning 
yechimga  ega  yoki  ega  emasligini  aniqlashimiz  kerak  va  yechimlari  bo‘lsa,  uni 
topishimiz  kerak.  Avvalo,  berilgan 
 
 
            taqqoslamaning  yechimga  ega 
yoki ega emasligini aniqlaymiz. Buning uchun 
(
 
 
) ning qiymatini aniqlaymiz.  
(
 
  
)       
   
 
 
    
 
  (
  
 
)     (
         
 
)     (
 
 
)        
    
 
     

---

 
 
223 
 
 Demak, berilgan taqqoslama 2 ta yechimga ega. 
Berilgan  taqqoslamaning  yechimlarini  topish  uchun  11  moduli  bo‘yicha 
chegirmalarning  keltirilgan  sistemasidagi  chegirmalar   
                    larni 
taqqoslamaga  qo`yib,  sinab  ko‘rishimiz  yoki  taqqoslamalarning  xossalaridan 
foydalanishimiz  mumkin.    Biz  bu  yerda  birinchi  yo‘ldan  boramiz  va  berilgan 
taqqoslamaning yechimlari 
              ekanligini topamiz.