Son va raqam tushunchasi

Keling n = 30 bo'lgandagi holatni bosqichma bosqich ko'rib chiqaylik:

1. 
   Oldin 2 dan n gacha bo'lgan sonlardan 2 ga bo'linadiganlarni (2 dan tashqari) belgilab olamiz:
   

2. 
   Endi esa 3 ga bo'linadiganlarini (3 dan tashqari) :
   

3. 
   Bundan keyingi navbatda 5 ga bo'linadiganlarini (5 dan tashqari):
   
   
   
   
4. 
   Qarab turganingizdek 7 dan keyingi bo'yalmay qolgan kataklardagi sonlar bo'linadigan boshqa bo'yalmagan kataklar yo'q. Ya'ni 7,11,13,17,19,23,29 ga bo'linadigan boshqa bo'yalmagan kataklar qolmadi.Shuning uchun keyingi bosqichlarda yana bo'yab ko'rsatishga hojat yo'q.
   

Sonlar o’zining natural bo’luvchilari va karralisiga egadir.

Masalan 48 ning bo’luvchilari B, karralisini K deb nomlaymiz.
48 B=: 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48

48 ning natural bo’luvchilari 10 ta ekan. Ahamiyat bersak bo’luvchilari soning yarmiga kelganimizda ya’ni 6 8 ularning ko’paytmasi 48 dir 6·8=48 demak 8 dan keyin keladigan bo’luvchisini topishda 48 ni 4 ga, 3 ga, 2 ga, 1 ga bo’lib oson topib olsak bo’lar ekan.

48 K=: 48, 96, 144, 192,……∞
48 ning karrali cheksiz ko’pdir. Xulosa shuki ixtiyoriy sonning eng katta bo’luvchisi ham eng kichik karralisi ham sonning o’zidir!
M-n: 36 B:= 1 2 3 4 6 9 12 18 36

36 ning natural bo’luvchilari 9 ta ekan. Ahamiyat bersak bo’luvchilari soning yarmiga kelganimizda ya’ni 6 ularning ko’paytmasi 36 dir 6·6=36 demak 6 dan keyin keladigan bo’luvchisini topishda 36 ni 4 ga, 3 ga, 2 ga, 1 ga bo’lib oson topib olsak bo’lar ekan. 6 ni bir dona bo’luvchi deb hisoblaymiz.

Misollar: 16, 24, 30, 38, 44, 50, 60, 90, 100, 200, 500, 256, 625, 1000

Sonlarining bo’luvchi va karralisini toping.
Yig’indini ko’paytmaga olib kelish. Sonning darajasi.
Ma’lumki bir xil sonlarni qo’shishda ularni ko’paytiruv shaklida tasvirlash mumkin.
6+6+6+6=6·4=24 15+15+15+15+15+15=15·6=90
9+9+9+9+9+9+9=9·7=63 100+100+100=100·3=300
Biroq ishora ko’paytirish bo’lsachi.
3·3·3·3·3=? Bu holda son nechtaligi sanaladi 5 ta 3 bir biriga ko’paytirilgan. Demak 3⁵=3·3·3·3·3=243
4·4·4·4·4=4⁵=1024 7·7·7·7·7·7·7·7=7⁸=5 764 801 va h.k.
Sonning tepasidagi son daraja deyiladi. Bu son son o’ziga o’zi necha marta ko’paytirilganini anglatadi.
Xususiy holda 1 va 0 ning ixtiyoriy darajasi 1 va 0 dir chunki 1 va 0 ni o’ziga o’zini ko’paytirsak 1 va 0 chiqaveradi.
1·1·1·1·1·1…=1 0·0·0·0…=0 0⁰-darajasi maktab o’quvchilari uchun ma’noga ega emas!
Lekin 0⁰-darajasi yuqori sinflar uchun 1 ga teng va bu mavzuga batafsil to’xtalamiz.
Har qanday sonning darajasida har doim bir turadi. M-n: 8=8¹ 15=15¹ va h.k.
!Eslatma 3·6 va 3⁶ sonlar farqi bor 3·6=18 3⁶=3·3·3·3·3·3=729

Matematiklar 1 dan 10 gacha sonlarning darajasini ayrimlarini yodlagan bo’lishi kerak. 1 dan 5 gacha sonlarning 10-darajasigacha 6 dan 10 gacha sonlar 5-darajasigacha bilishi kifoyadir. Quyida sizlarga umumiy jadvalni havola qilamiz.

Masalan 7ⁿ da n=3 bo’lsa 7³=343 bo’ladi. 5⁶=15625

Misollar

DARAJA BO’YICHA
Sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratish. Eng katta umumiy bo’luvchi (EKUB) va Eng kichik umumiy karrali (EKUK). Sonning bo’luvchilari nechta? Ularning yig’indisi va ko’paytmasi.

Ixtiyoriy murakkab sonni tub sonlar ko’paytmasi shaklida yozish mumkin.

Masalan, 28=2·2·7, 360=2·2·2·3·3·5, 35=5·7,
Tub sonlar asosan ikkita natural ko’paytuvchiga ajraladi. M-n: 19=19·1, 37=1·37, 97=1·97

80	2
40	2
20	2
10	2
5	5
1	1

Murakkab sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratishda 2, 3, 5, 7 va h.k. tub sonlarga bo’lib chiqishdan iborat. Jarayon murakkab son 1 ga kelguncha amalga oshirilaveradi.

48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 1 42	2
21	3
7	7
1	1

308	2
154	2
77	7
11	11
1	1

48=2·2·2·2·3 42=2·3·7 308=2·2·7·11 80=2·2·2·2·5 Qisqartirib yozish uchun darajalardan foydalanamiz!

48=2⁴·3¹ 42=2¹·3^1·7¹ 308=2²·7¹·11¹ 80=2⁴·5¹
Ushbu daraja ko’rsatkichlar sonning uchta ma’lumoti ya’ni parametrini beradi.

1. 
   Bo’luvchilari soni – masalan 48 da 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 o’nta bo’luvchi bor ekan. Shu 10 taligini tub ko’paytuvchilarga ajratib aniqlasak bo’ladi va u quyidagi formuladir.
   

Agar N berilgan son bo’lib a,b,c,d va h.k. tub ko’paytuvchilarga ajralib darajalari mos ravishda e, k, m, n, va h.k. bo’lsa,
N=a^e·b^k·c^m·dⁿ uchun bo’luvchilari soni B.S.=(e+1)(k+1)(m+1)(n+1)
Ya’ni 48=2⁴·3¹ sonidagi daraja 4 va 1 ga 1 ni qo’shib bir biriga ko’paytirilar ekan. (4+1)·(1+1)=5·2=10 ta

2. 
   Bo’luvchilari yig’indisi – masalan 48 da 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 natural bo’luvchilari mavjud. Shularni qo’shib chiqamiz
   

1+2+3+4+6+8+12+16+24+48=124 ekan. Lekin bularni tub ko’paytuvchilarga ajratib oson hisoblasak bo’ladi. 48=2⁴·3¹ dan

ya’ni N=a^m·bⁿ·c^e bo’lsa Natural bo’luvchialri yig’indisi

3. 
   Bo’luvchilarini ko’paytirish - 48 da 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
   

48	1 48
48	2 24
48	3 16
48	4 12
48	6 8

Demak,
Berilgan sonni bo’luvchilari ko’paytmasini topish uchun berilgan sonni uning bo’luvchilari soni yarmini berilgan son darajasiga ko’tarar ekanmiz.

Misollar EKUB EKUK Bo’luvchilari bo’yicha

Qoldiqli bo’lish
Har qanday sonlar istalgan sonlarga qoldiqsiz bo’linmaganligi sababli qoldiqli bo’lish yuzaga keladi.
Masalan
17:5=3 (2 qoldiq) chunki 5*3+2=17, 31:7=4 (3 qoldiq) chunki 7*4+3=31
Demak qoldiqli bo’lishni quyidagicha umumiy ko’rinishda yozsak bo’ladi.
a:b=c (r qoldiq) a=c*b+r
a-bo’linuvchi, b-bo’luvchi, c-to’liqsiz bo’linma, r-qoldiq
Qoldiqli bo’lishning shartlari bo’linuvchi bo’luvchidan katta a>b, bo’luvchi esa qoldiqdan katta b>r va + ishora bo’lishi shart.
Masalan
39=3*11+8, 39>11 va 11>8 demak to’g’ri!
43=7*5+8, 43>5, biroq 5<8, demak notog’ri qoldiqli bo’lish ko’rinishda
57=6*10-3, 57>10, biroq o’rtada “-“ ishorasi demak notog’ri qoldiqli bo’lish ko’rinishda.
Misollar qoldiqli bo’lish bo’yicha

Butun musbat va manfiy sonlar va ular ustida 4 amal.

Dunyoda barcha narsalarning jufti bo’lgani kabi sonlarning ham jufti mavjud. (Gap juft sonlar haqida emas!)
Ixtiyoriy sonning jufti ya’ni qarama-qarshisi mavjud. Uni ajratish uchun + va – belgilaridan va son o’qidan foydalanamiz. 1-darsda ta’kidlaganimizdek ular son o’qida 0 ga nisbatan bir xil uzoqlikda joylashgan. 0 dan 3 gacha 3 qadam, 0 dan –3 gacha 3 qadam. Demak + li sonlar musbat, - sonlar manfiy sonlar deyiladi. Go’yo musbat sonlar 0 ustida turgan “ko’zguga” qarayotgani kabi, siz ham ko’zguga qarasangiz qaram-qarshi sur’atni ko’rasiz.
+10 va -10, +17 va -17 o’zaro qarama – qarshi son deyiladi.

Demak ular ustida amal bajarishda – va + ning o’zaro bog’liqligini o’rganamiz.

1. 
   Musbat sonning + ishorasi odatda yozilmaydi va u sonning chap tomonida turadi deb qabul qilamiz. 26=+26 yoki +64=64 dir.
   
2. 
   Manfiy sonning – ishorasi yozilishi shart va u sonning chap tomonida yoziladi. Bo’lmasa musbat bo’lib qoladi! -38=-38 yoki -55=-55
   
3. 
   Musbat va manfiy sonlarning ishorasini qavs ochish qoidalari orqali o’zgartirishimiz mumkin. Quyidagi formulani eslab qoling!
   

1. 
   -(-a)=+a, 2) +(-a)=-a, 3) -(+a)=-a, 4) +(+a)=+a
   

Masalan:
-5 ning ishorasini + qilmoqchimiz, 3-formuladan -5= -(+5) ga tengdir.
32 ning ishorasini – qilmoqchimiz, 1-formuladan 32=-(-32) ga tengdir.
Manfiy va musbat sonlarni qo’shib ayirish uchun avval har bir sonning individual ishorasini ajratib olamiz. Qoida shuki sonlar o’rtalaridagi ishora + bo’lishi shart. 3-banddagi 2 va 4 qoidalardan foydalanamiz.
17-53+85-47-29+31=(+17)+(-53)+(+85)+(-47)+(-29)+(+31)
Demak bu yerda “–“ ishorali sonlarni qarz pul deb olamiz, “+” ishoradagi sonlar esa sizdagi bor pul deb qabul qilib, qarzlarni va sizdagi pullarni alohida qo’shib chiqamiz, demak 17+85+31=133, 53+47+29=129
Natija: +133+(-129)=133-129 ni ayrisak 4 qoladi.
-42-58+26+19+39-76=(-42)+(-58)+(+26)+(+19)+(+39)+(-76)