Solving Trigonometric Equations She Loves Math

Solving Trig Problems with a Calculator

Solving Trig Systems of Equations

We learned how to solve systems of more complicated equations here in the 

Systems of non-Linear Equations section

.

Again, we can use either 

Substitution

 or 

Elimination

, depending on what’s easier. Once we get the initial solution(s), we’ll need to plug in to get the other variable.

Here are some examples of Solving Systems with Trig Equations; solve over the  reals:

Solving Trig Systems of Equations

\(\displaystyle \begin{array}{c}y-\cos \left( x

\right)=0\\y=\sin \left( x \right)\end{array}\)

 

\(\displaystyle \begin{array}{c}\sin x-\cos x=0\\\sin

x=\cos x\\\frac{{\sin x}}{{\cos x}}=1\\\,\tan

We’ll use substitution to get one equation, only with \(x\)’s. Since both sin and cos go

on and on in the \(x\) direction, we have to include “\(\displaystyle +2\pi k\)” to our

solutions.

 

(We have to be careful to separate the solutions we get to \(\displaystyle x=\frac{\pi }

{4}+2\pi k\) and \(\displaystyle x=\frac{{3\pi }}{4}+2\pi k\), even though with tan, we

can typically use \(\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi k\) for this solution. The reason we

---

x=1\end{array}\)           

 

\(\displaystyle \begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+2\pi

k\,\,\,\,\,\,\,\,x=\frac{{3\pi }}{4}+2\pi k\\y=\sin \left(

{\frac{\pi }{4}} \right)=\frac{{\sqrt{2}}}

{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,y=\sin \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)=-

\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\\,\left( {\frac{\pi }{4}+2\pi

k,\,\,\frac{{\sqrt{2}}}{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(

{\frac{{3\pi }}{4}+2\pi k,\,\,-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}

\right)\end{array}\)

have to separate our answers like this is because we’ll have different answers for \

(y\) for the two different places on the unit circle.)

 

Once we get the solutions for \(x\), we plug these back in  either equation to get our \

(y\) values.

We see that the solutions are \(\displaystyle \left( {\frac{\pi }{4}+2\pi k,\frac{{\sqrt{2}}}

{2}} \right)\) and \(\displaystyle \left( {\frac{{3\pi }}{4}+2\pi k,-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}

\right)\).

\(\displaystyle \begin{array}{c}\cos \left( x

\right)+y=3\\y={{x}^{2}}\end{array}\)

 

Put in graphing calculator:

 

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{Y}_{1}}=3-\cos \left( x

\right)\\{{Y}_{2}}={{x}^{2}}\end{array}\)

 

Let’s do this one on our graphing calculator (make sure your calculator is in

radians). Solve for \(y\) in both cases, graph, and find the intersection. I made my

window between \(-2\pi \) and \(2\pi \) for \(x\).

 

Use the intersect feature on the calculator (2