Соболевнинг фазосида оптимал квадратур ва кубатур формулалар

Сплайнлар методи. И.Шоенберг Сард маъносидаги оптимал квадратур формула ва натурал сплайнлар орасидаги боғлиқлик кўрсатган. Масалан, агар да тугунларни танлашга нисбатан интерполяция қилувчи натурал сплайн ҳисобланади ва
(3.8)
мос келадиган сплайн интерполяция формуласи, кейин Сард маъносида оптимал квадратур формуласи
. (3.9)
Гильберт фазоларида (3.8) кўринишдаги оптимал интерполяцион формулалари тузилган ва бу формуланинг иккала қисмини интеграллаб, Сард маъносида (3.9) кўринишдаги оптимал квадратур формулаларини олинган.
-функциялар методи.
Айтайлик, ва бўлиб, бу ерда - Соболев фазоси. Ҳар бир интервалда,

шартни қаноатлантирувчи функцияни қараймиз.
Натижада биз қуйидагига эга бўламиз:
.
Шундай қилижб, ўнг томонини қисмларга бўлиб, интеграллаб қуйидагини оламиз


,
ва бундан кейин , функциялар бўйича тегишли шартларни ҳисобга олган ҳолда, биз Сард маъносидаги турли хил оптимал квадратур формулаларни олишимиз мумкин.
Умумлашган - функциялар методи оператор ўрнига умумийроқ чизиқли тартибли дифференциал оператор қўлланилади.
Соболев методи. Шуни таъкидлаш керакки, Соболев методи чизиқли дифференциал операторнинг дискрет аналогини қуришга асосланган. Ушбу усулдан фойдаланиш Сард маъносида оптимал квадратур формулаларнинг коэффициентлари учун аналитик формулаларни олиш имконини беради.
фазода хатолик функционали нормасининг минимумини топиш масаласи Винер-Хопф типидаги алгебраик тенгламалар системасига келтирилади, бу ерда -Соболев фазоси, ҳар бир функция- квадрати билан интегралланувчи, -тартибли умумлашган ҳосилага эга. Ушбу система ечимининг мавжудлиги ва ягоналигини Соболев томонидан исботланган, оптимал кубатур формулаларининг коеффитциентларини топишнинг баъзи аналитик алгоритмини тасвирлаб берди.
Бунинг учун Соболев полигармоник операторнинг дискрет аналогини аниқлади ва ўрганди. -ўлчовли ҳолда дискрет операторни қуриш масаласи, жуда мураккаб ва очиқ масалалардан биридир. Бир ўлчовли ҳолатда З.Ж. Жамалов ва Х.М. Шодиметов томидан дифференциал операторнинг дискрет аналоги қурилган. фазода дифференциал операторнинг дискрет аналоги ёрдамида қуйидаги натижалар олинган: (3.3) кўринишидаги оптимал квадратур формула қурилди, ҳамда уларнинг коэффициентларининг мусбатлиги ўрганилган; вазнли оптимал квадратур формулалари олинган; эйлер-Маклорен типидаги оптимал квадратур формулалари ўрганилган; Сплайнларни ясаш масаласи кўриб чиқилди; Фуръе коэффициентларини сонли интеграллаш учун оптимал квадратур формулалари тузилган. Эътибор беринг, юқорида айтиб ўтилган оптимал квадратур формулалари ва фазода тузилган сплайнлар, ҳар қандай даражали алгебраик кўпҳадлар учун аниқдир.