Соболевнинг фазосида оптимал квадратур ва кубатур формулалар

Соболевнинг фазосида оптимал квадратур ва кубатур формулалар
Маълумки, квадратур формулалар аниқ интегралларни сонли ҳисоблаш учун зарурдир. Шунинг учун квадратур формулалар дифференциал ва интеграл тенгламаларни сонли ечишда муҳим воситалардан бири бўлиб ҳисобланади. Маълум маънода оптимал бўлган квадратур формулаларни қуришнинг янги алгоритмларини ишлаб чиқиш, шунингдек, алгебраик ва вариацион ёндашувлар асосида турли синфлардаги функциялардаги хатоларни баҳолаш ҳисоблаш математикасининг муҳим муаммоларидан биридир.
Вариацион ёндашувда сонли интеграция формулаларини оптималлаштириш муаммоси берилган функция фазосида хатолик функционали нормасининг минимумини топиш масаласидир. Коэффициентлар ва тугунларга нисбатан хатолик функционали нормасининг миниммумини топишдан иборат бўлган Никольский масаласи ва фиксирланган тугун нуқталардаги коэффициентлари бўйича хатолик функционали нормасининг минимумини топишдан иборат Сард масаласи.
Николский ва Сард масалаларининг ечимлари мос равишда Николский ва Сард маъносида оптимал квадратур формула деб юритилади.
Соболевнинг фазоси орқали оралиқда аниқланган, -тартибли ҳосиласигача узлуксиз ва -тартибли ҳосиласи га тегишли функциялар синфини белгилаймиз. синф ушбу
(3.1)
скаляр кўпайтма билан Гильберт фазосини ташкил этади. Гильберт фазосида (3.1) скаляр кўпайтмага мос ярим норма қуйидагича киритилади:
, (3.2)
фазосидаги функция учун, қуйидаги кўринишдаги квадратур формулани қараймиз
, (3.3)
бу ерда ва мос равишда (3.1) формуланинг коэффициентлари ва тугун нуқталари деб аталади, функция эса Соболев фазосининг элементи.
Интеграл ва квадратур йиғинди орасидаги айирмага:
(3.4)
бунга (3.3) квадратур формуланинг хатолиги дейилади. Бу ерда га тенг. Ушбу айирма хатолик функционали орқали қуйидаги кўринишда аниқланади:
. (3.5)
Бу ерда - кесманинг характеристик функцияси, эса Диракнинг дельта функцияси.
Коши-Шварц тенгсизлигидан маълумки, (3.4) хатолик функционалининг абсолют қиймати, хатолик функционалининг нормаси орқали қуйидагича ифодаланади:
(3.6)
_{хатолик функционали кўриниши қуйидагича}
,
бу ерда фазоси фазога қўшма фазо.
Сард масаласи фазода оптимал квадратур формула қуриш, коэффициентлар ва тугун нуқталар бўйича хатолик функционали нормасига минимум бериш.
Сард масаласи, фазосида оптимал квадратур формулани қуришда қуйидаги катталикни ҳисоблашдан иборат
(3.7)
яъни, хатолик функционалининг (3.6) нормасинг фиксирланган тугун нуқталарда коэффициентлар орқали минимумини топишдан иборат.
Бу масала икки қисмдан тузилган: Биринчидан, фазода хатолик функционалининг (3.6) нормасини ҳисоблаш ва кейин тугун нуқталари учун коэффициентлари бўйича (3.6) норманинг минимумини топиш.
Сард маъносидаги оптимал квадратур формулаларни қуришни бир қанча методлар аниқланган, масалан, сплайнлар методи, - функциялар методи ва Соболев методи. Турли фазоларда ушбу усулларда Сард масаласи кўплаб муаллифлар томонидан ўрганилган.