Системы линейных уравнений

Уравнения системы можно рассматривать как уравнения двух прямых на плоскости. Система несовместна, когда прямые параллельны, т.е. , . В этом случае ранг матрицы системы равен 1:

RgA=1 , т.к. ,
а ранг расширенной матрицы равен двум, т. к. для нее в качестве базисного минора может быть выбран минор второго порядка, содержащий третий столбец.
В рассматриваемом случае RgAA^*.
Если прямые совпадают, т.е. , то система уравнений имеет бесчисленное множество решений: координаты точек на прямой . В этом случае RgA=RgA^*=1.
Система имеет единственное решение, когда прямые не параллельны, т.е. . Решением этой системы являются координаты точки пересечения прямых


III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.
Рассмотрим простейший случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных, т.е. m=n. Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:
(3)
Здесь - определитель матрицы системы,
- определитель матрицы, получаемой из [A] заменой i-ого столбца на столбец свободных членов:
.
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера.

Решение :
1) найдем определитель системы

2) найдем вспомогательные определители

3) найдем решение системы по правилу Крамера:

Результат решения может быть проверен подстановкой в систему уравнений

Получены верные тождества.


IV. Матричный метод решения систем уравнений.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде (2)

[A]{x}={B}
и умножим правую и левую части соотношения (2) слева на матрицу [A^-1], обратную матрице системы:
[A^-1][A]{x}=[A^-1]{B}. (2)
По определению обратной матрицы произведение [A^-1][A]=[E], а по свойствам единичной матрицы [E]{x}={x}. Тогда из соотношения (2') получаем
{x}=[A^-1]{B}. (4)
Соотношение (4) лежит в основе матричного метода решения систем линейных уравнений: необходимо найти матрицу, обратную матрице системы, и умножить на нее слева вектор-столбец правых частей системы.
Пример. Решим матричным методом систему уравнений, рассмотренную в предыдущем примере.

Матрица системы ее определитель detA==183.