Sirtning yopishma paraboloidi. Yopishma paraboloid tenglamasi

Sirtning yopishma paraboloidi
Reja:

1. 
   Sirtning yopishma paraboloidi.
   
2. 
   Yopishma paraboloid tenglamasi.
   
3. 
   Sirt nuqtalarini sinflarga ajratish.
   
4. 
   Sirtning egrilik indikatrisasi.
   

F regulyar sirt va unda yotuvchi Р nuqta berilgan bo`lsin. Uchi Р nuqtada va o`qi sirtning Р nuqtadagi normali bilan ustma-ust tushuvchi U paraboloidni olamiz. Sirt ustida Р nuqtaga yaqin bo`lgan biror Q nuqtani olaylik. Q nuqta orqali paraboloid o`qiga parallel qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq paraboloidni Q nuqtada kesib o`tsin. Р ва Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q va Q nuqtalar orasidagi masofani esa h bilan belgilaymiz.

Ta‘rif. Agar sirt bo`ylab QР да h/d² nisbat 0 ga intilsa, u xolda U paraboloidni F sirtning Р nuqtasidagi yopishma paraboloidi deyiladi.

TEOREMA.Regulyar(2 marta uzluksiz differentsiallanuvchi) sirtning xar bir nuqtasida yopishma paraboloid mavjud bo`lib, u yagonadir. Xususan, bu paraboloid parabolik tsilindrdan yoki tekislikdan iborat bo`lishi mumkin.

ISBOT. Aytaylik F sirt r=r(u,v) vektor tenglama bilan berilgan bo`lsin. Koordinata sistemasini quyidagicha kiritamiz:

Sirtning Р nuqtasidagi urinma tekislikni ХОУ koordinata tekisligi deb va ushbu nuqtadagi normalni ОZ o`qi deb olamiz. U xolda [r<sub>u</sub>,r<sub>v</sub>] vektor 0Z o`qi bo`ylab yo`nalgani uchun

0

bo`ladi. Shuning uchun Р nuqtaning yetarlicha kichik atrofidа F sirtni z=f(x,y) ko`rinishdagi tenglama orqali berish mumkin. Ma‘lumki, Р(0,0,0) nuqtadagi urinma tekislik tenglamasi

z=xf_x(0,0)+yf_y(0,0) (1)

ko`rinishda bo`ladi. Ikkinchi tomondan bu tekislik ХОУ koordinata tekisligi bo`lgani uchun uning tenglamasi

z=0 (2)

(1) va (2) tenglamalarni taqqoslab f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0 ekanini topamiz. Shuning uchun f(x,y) funktsiyaning koordinata boshi atrofidagi yoyilmasi

f(x,y)= (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)+(x,y)(x²+y²) (3)

ko`rinishda bo`ladi. Bu yerda х,у0 да (х,у)0.

Shunday qilib koordinata boshi atrofida F sirtning tenglamasi

z= (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)+(x,y)(x²+y²) (4)

ko`rinishda bular ekan.

Uchi koordinata boshida va o`qi 0Z o`qi bilan ustma-ust тушувчи xar qanday paraboloidni, xususan uni parabolik silindr yoki tekislikka buzilishini xam quyidagi

z=ax²+2bxy+cy² (5)

tenglama orqali berish mumkin.

Endi agar yopishma paraboloid mavjud bo`lsa, uning yagona ekanligini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik (5) paraboloid yopishma paraboloid bo`lsin, u xolda ta‘rifga asosan,

(h/d²)=(| (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)+(x,y)(x²+y²)|/x²+y²+f²(x,y))0

bo`ladi. Oxirgi tenglikda у=0 va х0 deb olib,

(h/d²)=| (f_xx-a)|

ni topamiz. Bundan f_xx=a ekani kelib chiqadi. Xuddi shuningdek f_yy=c ekanini topamiz. Nixoyat х=у0 deb olsak f_yy=b ni topamiz.

Shunday qilib, agar yopishma paraboloid mavjud bo`lsa, uning tenglamasi

r= (f_xxх²+2f_xyxy+f_yyy²)

ko`rinishda bular ekan. Bundan uning yagonaligi kelib chiqadi.