Sirt integrallari va ularni hisoblashga doir mashiqlar

Isbot. .(S) sirtning bo ‘linishini olaylik , uning bo ‘laklarini bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi. bo ‘laklashiga nisbatan ushbu yig ‘indini tuzamiz:

Agar (S) sirtning ustki tomoni qaraliyotgan bo ‘lsa , u holda barcha lar musbat bo ‘ladi .

Modomiki,f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan , u x va y o‘zgaruvchilarning quydagi funksiyaga aytlanadi.
f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))
bundan esa
(k=1,2,3…..)
Bo ‘lishi kelib chiqadi.Natijada (5) yig ‘indi ushbu

Ko ‘rinishga keladi.bu yig ‘indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig ‘indisi ekani payqash qiyin emas Agar f(x,y,z(x,y))funksiyaning (D)da uzluksiz ekanligini e’tiborga olsak,unda da

Yig ‘indi chekli limitga ega bo ‘ladi va

Bundan esa

Bo ‘lishi kelib chiqadi teorema isbot bo ‘ldi.

Misol. _{ } bo’lsin. _{ } sirt sifatida

sferadan

silindr bilan kesilgan olamiz.
Egri chiziqni ushbu

parametrik ifodasiga o’tib, egri chiziqli integral uchun oddiy integral ko’rinishdagi
yetarlicha murakkab ifodani topamiz:

Figurali qavslardagi _{ } ga ko’paytirilgan 1- va 3- qo’shiluvchilar _{ } ko’rinishga ega bo’lib, ulardan olingan integral kosinusni davriyligiga asosan, nolga teng:


ikkinchi integral esa

Shunday qilib,



ekanini hisoba olib, quyidagi

2- tur sirt integralini avval 1-tur integralga almashtiramiz:



bo’lgani uchun, u holda bu ifodalarni o’rniga qo’yib, keying qisqartirishlarni bajaramiz va quyidagi ko’rinishdagi integralga kelamiz:



Sirtni _{ } tekislikka nisbatan simmetikligiga ko’ra,

Qolgan integralni yana 2-tur integralga almashtiramiz:


Foydalanilgan adabiyotlar.
1. Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, I -qism. Toshkent,
« O ‘qituvchi», 1994;
2. Azlarov T „ Mansurov H. Matematik analiz, 2-qism. Toshkent,
« O‘zbekiston», 1995;
3. Azlarov T., Mansurov H. Matemalik analiz asoslari, l-qism, Toshkent,
2005;