Sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasi, formulalarni chiqarish, misollar. Ikki burchak kosinuslari yig‘indisini (farqini) sinus yig‘indisining ko‘paytmasiga aylantiring

Sinuslar yig'indisi va ayirmasi,
kosinuslarning yig'indisi va
ayirmasi
Funktsiyalar yig'indisi va ayirmasining formulalari:
Masalani yechishda funksiyalar yig‘indisi va
ayirmasi formulalaridan tashqari funksiyalar
hosilasi formulalari ham foydalidir:
Egri uchburchaklar elementlari
orasidagi asosiy munosabatlar
Afsona:
$ a $, $ b $, $ c $ - uchburchak tomonlari;
$ A $, $ B $, $ C $ - sanab o'tilgan tomonlarga
qarama-qarshi burchaklar;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ - yarim perimetr;
$ S $ - maydon;
$ R $ - chegaralangan doira radiusi;
$ r $ - chizilgan doira radiusi.
Asosiy munosabatlar:
1) $ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c)
(\ sin C) = 2 \ cdot R $ - sinus teoremasi;
2) $ a ^ (2) = b ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot b \ cdot c \
cdot \ cos A $ - kosinus teoremasi;
3) $ \ frac (a + b) (a-b) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2))
(tg \ frac (A-B) (2)) $ - tangens teorema;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ sin C
= \ sqrt (p \ cdot \ chap (pa \ o'ng) \ cdot \ chap (pb
\ o'ng) \ cdot \ chap (pc \ o'ng)) = r \ cdot p = \ frac
(a \ cdot b \ cdot c) (4 \ cdot R) $ - maydon
formulalari.
Qiyma uchburchaklarni yechish
Egri uchburchaklarning yechimi uning barcha
elementlarini aniqlashni o'z ichiga oladi: 
tomonlar
va burchaklar
.
1-misol
$ a $, $ b $, $ c $ uchta tomoni bor:
1) uchburchakda burchaklarni hisoblash uchun
faqat kosinus teoremasidan foydalanish mumkin,
chunki arkkosinaning faqat asosiy qiymati
uchburchakka mos keladigan $ 0 \ le \ arccos x \ le
+ \ pi $ ichida bo'ladi;
3) $ \ cos B = \ frac (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \
cdot a \ cdot c) $ kosinus teoremasini qo'llash
orqali $ B $ burchagini toping, va keyin teskari
trigonometrik funktsiya $ B = \ arccos \ chap (\ cos
B \ o'ng) $;
2-misol
Ikki tomon $ a $, $ b $ va ular orasidagi $ C $
burchak berilgan:
1) kosinuslar teoremasi bo'yicha $ c $ tomonini
toping $ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot
b \ cdot \ cos C $;
2) $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \
cdot b \ cdot c) $ kosinus teoremasini qo'llash
orqali $ A $ burchagini toping, va keyin teskari
trigonometrik funktsiya $ A = \ arccos \ chap (\ cos
A \ o'ng) $;
3) $ B = 180 () ^ \ circ - \ chap (A + C \ o'ng) $
formulasi bo'yicha $ B $ burchagini toping.
3-misol
Ikki burchak $ A $, $ B $ va yon $ c $ berilgan:
1) $ C = 180 () ^ \ circ - \ chap (A + B \ o'ng) $
formulasi bo'yicha $ C $ burchagini toping;
2) sinus teoremasi bo'yicha $ a $ tomonini toping
$ a = \ frac (c \ cdot \ sin A) (\ sin C) $;
3) sinus teoremasi $ b = \ frac (c \ cdot \ sin B) (\
sin C) $ bo'yicha $ b $ tomonini toping.
4-misol
$ a $, $ b $ tomonlari va $ b $ tomoniga qarama-
qarshi $ B $ burchagi berilgan:
1) berilgan qiymatlardan foydalanib $ b ^ (2) = a ^
(2) + c ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot c \ cdot \ cos B $
kosinus teoremasini yozamiz; shu yerdan olamiz
kvadrat tenglama
$ c ^ (2) - \ chap (2 \ cdot a \ cdot
\ cos B \ o'ng) \ cdot c + \ chap (a ^ (2) -b ^ (2) \
o'ng) $ tomoniga nisbatan = 0 $ c $;
2) olingan kvadrat tenglamani yechib, nazariy
jihatdan biz uchta holatdan birini olishimiz
mumkin - $ c $ tomoni uchun ikkita ijobiy qiymat,
$ c $ tomoni uchun bitta ijobiy qiymat, $ uchun
ijobiy qiymatlarning yo'qligi. c $ tomoni; shunga
ko'ra, muammoning ikkita, bitta yoki nol yechimlari
bo'ladi;
3) $ c $ tomonining o'ziga xos musbat qiymatidan
foydalanib, $ A $ kosinus teoremasini $ \ cos A = \
frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2) qo'llash orqali
topamiz. )) (2 \ cdot b \ cdot c) $ keyin teskari
trigonometrik funktsiya $ A = \ arccos \ left (\ cos A
\ right) $;
4) $ C = 180 () ^ \ circ - \ chap (A + B \ o'ng) $
formulasi bo'yicha $ C $ burchagini toping.
Ikki a va b burchaklar uchun sinuslar va
kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining
formulalari ko'rsatilgan burchaklar yig'indisidan a
+ b 2 va a - b 2 burchaklar ko'paytmasiga o'tishga
imkon beradi. Darhol shuni ta'kidlaymizki, siz
sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi
formulalarini yig'indi va ayirmaning sinuslari va
kosinuslari formulalari bilan aralashtirib
yubormasligingiz kerak. Quyida biz ushbu
formulalarni sanab o'tamiz, ularning hosilasini
keltiramiz va muayyan masalalarni qo'llash
misollarini ko'rsatamiz.