Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2.3.1-teorema. Agar funksiya segmentda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, uchinchi tartibli bo‘lak-bo‘lak uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, esa uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, ikkiinchi tartibli bo‘lak-bo‘lak uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, hamda

, , (**)

muvofiqlashtirish shartlari bajarilsa, u holda (9) qator bilan aniqlangan funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lib, (2.3.1) tenglamani, (2.3.2) chegaraviy va (2.3.3) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan birga (2.3.9) qatorni x va t bo‘yicha ikki marta hadlab differensiallash mumkin bo‘lib, hosil bo‘lgan qatorlar ixtiyoriy t da oraliqda absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Isbot. (**) shart qanday kelib chiqqaniga to‘xtalaylik. (**) ning birinchi ikkita sharti funksiyaning x=0, t=0 va x=l, t=0 nuqtalarda uzluksizligidan (2.3.2) va (2.3.3) shartlarga asosan kelib chiqadi.

(**) ning ikkinchi ikkita sharti esa xuddi shu nuqtalarda hosilaning uzluksizligidan hosil bo‘ladi. Uchinchi juft shartni esa quyidagicha chiqarish mumkin. (2.3.1) tenglamani t=0 deb,

tenglikni hosil qilamiz. (2.3.2) shartlarni differensiallab,

tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu yerda t=0 deb, oldingi tenglikda x=0 va x=l desak, (**) ning uchinchi sharti kelib chiqadi.

(2.3.12) formulalardagi integrallani bo‘laklab integrallaymiz. (**) shartlarga asosan, quyidagilarni hosil qilamiz:



.

Ushbu

belgilashlarni kiritamiz. U holda

_(2.3.13)

.

va miqdorlar va funksiyalarning Furye koeffisiyentlaridan iboratdir. Trigonometrik qatorlar nazariyasidan ma’lumki,

,

qatorlar yaqinlashuvchi bo‘ladi. (2.3.13) ni (2.3.9) qatorga olib borib qo‘yamiz:

.

Bu qator va uni ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlar uchun ushbu

, , ,

- o‘zgarmaslar, yaqinlashuvchi qatorlar majoranta qator rolini o‘ynaydi.

Demak, (2.3.9) qator va uni ikki marta differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlar absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan (2.3.9) qatorning yig‘indisi funksiya o‘zining birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Shu bilan teorema isbot bo‘ldi.