Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun Grin funksiyasi va uning xossalari

Teorema 1.10.2. Agar (1.10.1)+(1.10.2) chegaraviy masalada
j f (xM( x)dx = 0,
0
bo‘lsa, u holda (1.10.1)+(1.10.2) chegaraviy masalaning (1.10.8) shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona bo‘lib, u ushbu
y(x) = _jH(x,t)f (t)dt, (1.10.21)
0
formula yordamida topiladi.
Isbot. Dastlab (1.10.21) formulani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz: y( x) = j H (x, t) f (t )dt + j H (x, t) f (t )dt. (1.10.22)
0x
(1.10.22) tenglikning ikkala tomononi x o‘zgaruvchi bo‘yicha differensiallaymiz. Natijada ushbu
y'(x) = H(x, x)f (x) + j H " (x, t')f (t)dt - H(x, x)f (x) + j H " (x, t)f (t)dt,
0x
x n
y \^x) = j^H" ⁽x,^{t)f (t)dt +} j^H" ⁽x^{t)f (t)dt}, (1.10.23)
0x
xn
y"^(x) = ^Hx⁽x ^{x - 0)f (x) +} j ^H'L⁽x ^{t )f (t )dt - H}x⁽x ^{x + 0)f (x) +} j ^H'L⁽x ^{t )f (t )dt},
0x
tengliklarni hosil qilamiz.
Umumlashgan Grin funksiyasi ta'rifining uchinchi va ikkinchi bandlaridan mos ravishda foydalanib, quyidagi tengliklarni topamiz:
H _x(x,x -0) - H_x (x,x + 0) = -1, (1.10.24)
^Hxx = q^{(x)H -}Vo^(x)P0^(t). (1.10.25)
(1.10.24) va (1.10.25) tengliklarni (1.10.23) formulaga qo‘yamiz: У(x) = -f (x) + j[q(x)H(x, t) - (P0 (x)^, (t)]f (t)dt +
0
+ _j[q(x)H(x,t) -P₀(x)P₀(t)]f(t)dt =
x
=-f(x)+q(x)_jH(x,t)f(t)dt-P₀(x)_jP₀(t)f(t)dt.
00
Teorema shartiga ko‘ra
y = - f (x) + q(x)y ,
kelib chiqadi, ya'ni (1.10.21) formula bilan beriladigan funksiya (1.10.1) tenglamani qanoatlantiradi. Chegaraviy shartlar bajarilishi ravshan. ■
Misol. Ushbu
- У" = f (x\
< y'(a) = 0, (1.10.26)
y(b) = 0,

chegaraviy masalaning yechimini umumlashgan Grin funksiyasi yordamida topamiz. Berilgan chegaraviy masalaning yechimini topishdan oldin, unga mos bo‘lgan bir jinsli
У" = 0,
<y '(a) = 0, (1.10.27)
. У(Ь) = 0,
chegaraviy masalani yechamiz. Ko‘rinib turibdiki, ushbu
Фо^(x) = ,
ylb - a
funksiya (1.10.27) chegaraviy masalaning normallangan yechimi bo‘lib, qolgan yechimlar
₀(x) yechimga proporsional bo‘ladi. Demak, (1.10.27) chegaraviy


masalaning odatdagi Grin funksiyasi mavjud bo‘lmaydi. Shuning uchun, uning umumlashgan Grin funksiyasini tuzishga tug‘ri keladi. Avvalo ushbu
- У" ¹


b-a
bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
¹2
x + c x + c~.
2(b - a) ^{1 2}


y(x)=


Bundan foydalanib, (1.10.27) funksiyasini ushbu


-1


1.10.28)


(1.10.29)


chegaraviy masalaning umumlashgan Grin


x² + Ax + B, x < t,
2(b -a) ^{1 1}
-1
x + Ax + B, x > t,
2(b- a) ^{2 2}
ko‘rinishda izlaymiz. Umumlashgan Grin funksiyasining uzluksizligidan va berilgan chegaraviy shartlardan foydalanib, quyidagi
\ =-^-
¹ b - a’
A =-—
b-a
A₁ - A₂ = -1,
B1 - B2 =t(A2 - A1),
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistemadan
B₁ = B₂ + t ,
ekanligini topamiz. Bularni (1.10.30) formulaga qo‘yib, ushbu
- 1 2 a
x + x +1 + B., x < t,
2(b - a) b - a ²
- 1 2 b
x + x + B., x > t, 2(b - a) b - a ²
tenglikni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikdagi B₂ ning qiymatini


H (x, t) = <


H (x, t) = <


(1.10.30)


(1.10.31)


(1.10.32)


(1.10.33)

b

j H (x, t t)dx = 0,
a


ortogonallik shartidan foydalanib topamiz:
-1 2 a
x ¹ +
b-a
b


bt
⁰ = ^jH(x’^t= ^jL2(b - a)
—¹— x² +—^b—x + B \dx = b - a ^{2 r}
a² +ab+b²


x +1 + B₂ dx +


Demak,


b
+ j
^j L2(b - a)
¹2 = — t - ta +
23


+ B₂ (b - a).

a² + ab+b²
- 1 2 a
B = 1 + 1 -
² 2(b - a ) b - a 3(b - a)



Nihoyat,

-1	(x - a)^2 + (t - b)^2 - ±(a - b)^2
2(b - a)	_ 3 _
-1	(t - a)^2 + (x - b)^2 - ±(a - b)^2
2(b - a)	_ 3 _

x < t,

•>

H(x,t)=

x > t,

•>

(1.10.34)
(1.10.35)
(1.10.36)
(1.10.37)

(1.10.38)


ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib,
b
_j f (x)dx= 0,
a
bo‘lgan holda, berilgan (1.10.26) chegaraviy masalaning ushbu
b
_j y(x)dx= 0,
a
shartni qanoatlantiruvchi yechimi yagona bo‘lib, u quyidagi
b
y(x) = _jH(x,t)f (t)dt,
a
formula yordamida topiladi.
Qaralayotgan chegaraviy masalaning umumiy yechimi b
y(x)= jH(x , t ) f (t )dt + c, c = const
a
tenglik bilan beriladi. Agar (1.10.34) shart bajarilmasa, (1.10.26) chegaraviy masala yechimga ega emas.
Izoh 1.10.1. Ayrim hollarda qaralayotgan chegaraviy masalalarga mos bo‘lgan bir jinsli chegaraviy masalalarning ikkita chiziqli erkli yechimi bo‘lishi mumkin. Bu hollarda umumlashgan Grin funksiyasining ta'rifiga o‘zgartirishlar kiritish kerak bo‘ladi.
Quyidagi chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz
- y" + q(x)y = f (x), a < x < b,


(1.10.39)
y^(a) = y^(b\
^y(a) = y'^(b).
Bu chegaraviy masalaga mos keluvchi bir jinsli chegaraviy masalaning ikkita p₁(x) va p₂(x) chiziqli erkli ortonormallangan yechimlari mavjud bo‘lsin. U holda bir jinsli bo‘lmagan (1.10.38)+(1.10.39) chegaraviy masala yechimi mavjudligining zaruriy sharti
J f (xp (x)dx = 0, j = 1,2
0
ko‘inishda bo‘ladi. Qaralayotgan holda ushbu
- У" + q(x)У = f (x), a < x < b,
' y^(a) = y(b\
У'^(a) = У'^(b\
<
J y( xp (x)dx = 0, j = 1,2,
. 0
bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala yagona yechimga ega bo‘ladi.
Ta'rif 1.10.1. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi H (x,t)
(1.10.38)+(1.10.39) chegaraviy masalaning umumlashgan Grin deyiladi:
1) H(x, t) funksiya [a,b] x [a,b] to‘plamda uzluksiz;

(1.10.40)
(1.10.41)
(1.10.42)
funksiyaga
funksiyasi
2) H(x,t) funksiya ushbu
^{- H}xx + q^{( x) H} = (pi^(x ')(Pi^(t) + (p2^{(x p(t)},
tenglamani [a, t) va (t,b] oraliqlarda qanoatlantiradi;

2. 
   ^Hx ¹ x=t+0 ^Hx ¹ x=t - 0 = ¹ ;
   
3. 
   H(x,t) funksiya (1.10.39) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
   

5) _JH(x,t)p(x)dx=0, j =1,2.
0