Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun Grin funksiyasi va uning xossalari

Natija 1.9.1. Grin funksiyasi uchun yozilgan (1.9.18) formuladan uning x va t ga nisbatan simmetrikligi, ya'ni G(x,t,2) = G(t, x,2) bo‘lishi kelib chiqadi.
Teorema 1.9.2. ( D.Gilbert). Agar 2 son (1.9.1)+(1.9.2) chegaraviy masalaga mos keluvchi bir jinsli masalaning хos qiymati bo‘lmasa, u holda iхtiyoriy f (x) e C[0,n] funksiya uchun (1.9.1)+(1.9.2) masalaning yechimi mavjud va yagona bo‘ladi va u ushbu
y(x) = J G(x, t,2)f (t )dt, (1.9.21)
0
formula bilan beriladi.
Isbot. (1.9.21) formula bilan beriladigan funksiya (1.9.1)+(1.9.2) chegaraviy masalaning yechimi ekanligini tekshirib ko‘ramiz. Buning uchun uni ushbu
y(x) = "yA P ,2)f(t )dt^pi'"2 "\v(t,2)f(t )dt (1.9.22)
(d(2) 0 (o(2) x
ko‘rinishda yozib olamiz va uning hosilalarini hisoblaymiz:

y (x) = -

V' (x, 2)

(o(2)

x
\p(t^{, 2)f (t )dt}
0

iy( x, 2)p( x, 2)

(o(2)

f(x) -

p (x, 2)

(o(2)

\w(t ,2)f (t )dt +
x

p( x,2)^( x,2)

(o(2)

f(x),

w’' (x,2)
(o(2)

x
fp^{(t ,2)f (t )dt}
0

' (x,2)p( x,2)

eo(2)

f(x)-

	- fat,A)f(t)dt + ^p'^(x,^Ay^(x^A^) f(x). (1.9.23) co(A) x ®(A)
Ushbu	p" = [q(x) - A]p, У = [q(x) - A]y va рУ - ур' = co(A)

tengliklardan foydalanib, chiqaramiz:


(1.9.23) formuladan quyidagi tenglamani keltirib



y " = ^[q^{( x) -A]} y - ^{f (x)},
- y"+q( x) у = Ay+f (x).
Chegaraviy shartlar bajarilishi ravshan.
Yagonaligini isbot qilish uchun (1.9.1)+(1.9.2) chegaraviy masalaning ikkita y₁(x) $ у₂(x) yechimi mavjud deb faraz qilamiz. y₁(x) va у₂(x) yechimlami

1. 
   +(1.9.2) masalaga qo‘yib, hosil bo‘lgan ayniyatlarni mos ravishda bir- biridan ayirsak, hamda u(x) = y₁(x) - y₂ (x) belgilash kiritsak, u(x) funksiya quyidagi bir jinsli masalani qanoatlantirishini ko‘ramiz:
   

- u" + q(x)u = Au,
u(0)cosa + u '(0)sina = 0, u(x)cos p + //'O)sin p = 0.
Bu masala faqat по1 уесЫтда ega, chunki A son хos qiymat emas. Demak, u(x) = 0 ekan, ya'ni y₁ (x) = y₂ (x) ekan. Bu esa farazimizga zid. ■
Ta'rif 1.9.1. (1.9.21) tenglik bilan beriladigan chiziqli integral operatorga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining rezolventasi deyiladi.
Izoh 1.9.1. Ushbu
- (p(x)y')'+ q(x)y = f (x), x & [a, b], p(x) > 0,
a_x y(a) + a₂ y у (a) = 0,
P1 y(b) + P2y (b)=0,
chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G( x, t) funksiyaga aytiladi:

1. 
   G(x,t) funksiya [a, b] x [a, b] to‘plamda uzluksiz;
   
2. 
   t & [a, b] parametming iхtiyoriy tayinlangan qiymatida G(x, t) funksiya [a, t) va (t, b] oraliqlarda bir jinsli
   

-(p(x)y ) +q(x)y =0 tenglamani qanoatlantiradi;

3. 
   
   
   
   ga teng, ya'ni
   
   1 .
   p^(t г
   G_x (x,t) funksiyaning x =t nuqtadagi sakrashi
   

^G'" ^(t)| x=t+0^-G'" ^(t} x=t-0

4. 
   G(x,t) funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
   

Bir jinsli chegaraviy masalaning noldan farqli yechimi bo‘lmasa, qaralayotgan masalaning Grin funksiyasi ushbu

G (x, t) = <
P( x )^(t) p(a ')®(a)’
W( x )p(t) p(a ')®(a )’


x < t
x > t,
formula orqali topiladi. Bu yerda p( x) va x) funksiyalr quyidagi
-⁽p^{( x)} y У+q^{( x)} y = ⁰
bir jinsli tenglamaning mos ravishda birinchi va ikkinchi chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi biror yechimlari, (o( x) = W p( x), i//( x)}.

Umumlashgan Grin funksiyasi
Ushbu
Ly = ~y" + q(x)y = f(x), 0 < x <л, (1.10.1)
; y⁽0^)cos« + y" °)sm v = 0^, (110 2)
У(л) cos P + y' ( л )sin p = 0,
chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz.
Agar Л = 0 soni quyidagi
- y" + q(x)y = Лу, 0 < x <л, (1.10.3)
y(0)cosa + y " (0)sina = 0,
. ■ ■ (1.10.4)
У(л) cos P + y" ( л )sin p = 0,
bir jinsli masalaning xos qiymati bo‘lsa, Grin funksiyasi mavjud emasligini oldingi paragrafda ko‘rgan edik, ya'ni ushbu
- y" + q(x)y = 0, 0 < x <л, (1.10.5)
y(0)cosa + y' (0)sina = 0,
. ■ ■ (1.10.6) y( л )cos p + y'( л )sin p = 0,
chegaraviy masala noldan farqli yechimga ega bo‘lsa, Grin funksiyasi mavjud bo‘lmasligini bilamiz.
Ammo bu fikr (1.10.1)+(1.10.2) chegaraviy masalaning yechimi yo‘q degani emas. Bu holda f (x) funksiya qanday shartlarni qanoatlantirganda

1. 
   +(1.10.2) chegaraviy masala yechimga ega bo‘ladi va uni qanday qilib topish mumkin degan savollar tug‘iladi. Mazkur paragrafda bu savolga atroflicha javob beriladi.
   

Faraz qilaylik, (1.10.5)+(1.10.6) bir jinsli chegaraviy masala noldan farqli normallangan <^₀(x) yechimga ega bo‘lsin. Agar yana boshqa bir noldan farqli yechim mavjud bo‘lsa, bu yechim <^₀(x) хos funksiyaga proporsional bo‘ladi, chunki (1.10.3)+(1.10.4) chegaraviy masalaning хos qiymatlari oddiydir.
Lemma 1.10.1. Agar (1.10.1)+(1.10.2) chegaraviy masala yechimga ega bo‘lsa, u holda ushbu
j f (x)^>( x)dx = 0,
0
tenglik bajariladi, ya'ni (1.10.1) tenglamaning o‘ng tomoni unga mos keluvchi bir jinsli ^gai-aviy masalaning хos funksiyasiga о^^отИт
Isbot. Grin ayniyatiga ko‘ra
J f (x)^0 (x)dx = j [-y"( x) + q( x) y( x)]^₀ (x)dx = 00
Л Л
= J y( x) Lp₀ (x)dx = j y( x) • 0dx = 0,
00
bo‘ladi. ■