Shegaralanǵan ham uzliksiz sızıqlı operatorlar

Teorema. Berilgen T: X → Y sızıqlı operator úzliksiz bolıwı ushın onıń shegaralanǵan bolıwı zárúr hám jetkilikli. Dálilleniwi.

Zárúrligi. Berilgen T sızıqlı operator úzliksiz, biraq shegaralanmangan bolsın dep shama menen oylayıq. Onda qálegen n natural san ushın

sonday n x ∈ X element tabıladı teńsizlik atqarıladı.

Aniq . Bunda elementti alsaq, kórinip turıptı, yaǵniy T uzliksiz bolǵani ushin T boladi. Biraq

Demek, Bul bolsa T ekenine qayshi.

Jetkilikliligi. Meyli T shegaralanǵan siziqli operator bolsin. Onda aniqlamaǵa kore sonday M tabilip, boladi. Eger izbe – izlik 0 ge umtilsa, onda boliwi ayqin. Demek,

yaǵniy T .

Bunnan T operatordıń 0 noqatda hám, sonday eken keńisliktiń hár bir noqatında úzliksizligi kelip shıǵadı. Teorema dalillendı.

Misal 4:

X normalangan keńislikti Y normalangan keńislikke

sawlelendiriwshi A sızıqlı operatordıń úzliksiz bolıwı ushın

onıń shegaralanǵanlıǵı zárúr hám jetkilikli ekenligin tastıyıqlang.

Sheshimi. Zárúrligi. A úzliksiz sızıqlı operator bolsın.

Ekenligin kórsetiwimiz kerek. Eger bolsa, onda sonday

{xn} ⊂ X, = 1 izbe-izligi tapılıp izbe-izlikti tawip,

Boladi. izbe-izlikti qaraymiz. ekeni ayqin. Onda A uzliksiz bolǵanliǵinan, A kelip shiǵadi. Biraq

=

Bul qarama-qarsılıqtan A operatordıń shegaralanǵan ekenligi kelip shıǵadı.

Jetkilikliligi. A operator shegaralanǵan bolsın. Onda sonday C sanı bar bolıp, qálegen x ∈ X ushın

≤

teńsizligi orinlanadı. Bunnan qálegen ε > 0 sanı ushın dep alsaq, onda || x|| < bolǵanda || A (x)|| < ε teńsizligi orınlı boladı. Bunnan A operatordıń 0 noqatda, demek, X da úzliksiz ekenligi kelip shıǵadı.

Jobasi:

1. 
   Siziqli operatorlar
   
2. 
   Siziqli operatorlardin uzliksiz ham shegaralanǵanliǵi
   
3. 
   Siziqli operatorlarǵa tiyisli misallar