Shegaralanǵan ham uzliksiz sızıqlı operatorlar

noqatda úzliksiz dep ataladı.

X keńislikti Y keńislikke sawlelendiriwshi A sızıqlı operator berilgen bolsin. Eger A nıń anıqlanıw oblasti

D (A) = X bolip, hár qanday shegaralanǵan koplik qayta shegaralanǵan koplikke sawlelendirilse, A siziqli operator shegaralanǵan operator dep ataladı.

Aniqlama: A : X → Y siziqli operator bolsin. Eger sonday C>0 san bar bolip, qalegen ushin

IIAxII≤ CIIxII

teńsizligi orinlansa, onda A shegaralangan operator boladı. Bul teńsizlikti qánaatlantıratuǵın sanlar kompleksiniń tómen shegarası A operatordıń norması dep ataladı, yaǵnıy

|| A|| = inf{C > 0 : ∀x ∈ D (A),|| Ax|| ≤ C||x||}.

Misal 1:

X hám Y normalangan keńislikler, A : X → Y shegaralangan sızıqlı operator bolıp, D (A) = X bolsın.

Onda

teńligin tastıyıqlan.

Sheshimi. α = kóriniste belgilew kiritemiz. A operator sızıqlı bolǵanlıǵınan,

teńligi orınlı boladı. Usınıń sebebinen qálegen x ushın

Yaǵnıy

A operatordıń norması teńsizligin qánaatlantiruvchi C sanlardıń eń kichisi bolıwınan teńsizligin jaza alamız.

Usınıń menen birge, anıq joqarı shegara aniqlamasi boyınsha qálegen ε > 0 sanı ushın sonday elementi tabılıp,

α − ε ≤

yamasa

(α − ε)

qatnaslari orınlı. Aqırǵı qos teńsizlikten α − ε ≤ C teńsizligin jaza alamız hám ε > 0 sanınıń qálegenliginen,

α ≤ IIAII teńsizligine iye bolamız. Nátiyjede, IIAII = α teńliginiń orınlı ekenligi kelip shıǵadı.

Misal 2:

Tómende berilgen operatordıń sızıqlı, shegaralangan ekenligin kórsetiń hám normalarini tabıń :

A : C[0, 1] → C[0, 1], bunda

Sheshimi.

A(αx + βy)=

Sonday eken, A sızıqlı operator. Endi bul operatordıń shegaralanǵan ekenligin kórsetemiz.

Solay eken, IIAxII ≤ IIxII. Bul teńsizlikten A operatordıń shegaralanǵan ekenligi kórinedi. Usınıń menen birge,

IIAII = IIAx (t) II ≤ 1 hám x (s) = 1 ushın Ax (1) = 1 bolǵanlıǵınan, IIAII = 1 teńliginiń orınlı ekenligi kelip shıǵadı.

Misal 3:

Sonday X normalangan keńislikke hám sonday A, B

shegaralanǵan sızıqlı operatorlarǵa mısal keltiriń,

AB ≠ BA munasábet orınlı bolsın.

Sheshimi. X = bolıp,

A= B = bolsa,

AB = ham BA=

boladı, yaǵnıy AB≠BA. X chekli ólshemli bolǵanlıǵınan,

A hám B operatorlar úzliksiz, sol sebepli shegaralanǵan.