Shavkat uralov. Yig`indini ko`paytmaga va ko`paytmani yig`indiga aylantirish formulalari

---

Trigonometrik formulalar.                                                 B daraja.                                                  SHAVKAT  URALOV. 

 

Yig`indini ko`paytmaga va ko`paytmani yig`indiga aylantirish formulalari. 

Yig`indini ko`paytmaga aylantirish formulalari. 

Ko`paytmani yig`indiga aylantirish formulalari. 

1)

 

   

 

     

 

       

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

2)

 

   

 

     

 

       

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

3)

 

   

 

     

 

       

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

4)

 

   

 

     

 

        

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

5)

 

             

 

 

                         

 

6)

 

             

 

 

                         

 

7)

 

             

 

 

                         

 

Isbotlari. 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 deb belgilasak, tenglamalarni qo`shib hamda ayirib, quyidagilarga ega bo`lamiz:  

 

 

       

 

        

 

 

Demak,  

   

 

     

 

                                                                                       

 

                       

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 bo`ladi.  1)-3) formulalari shunga o`xshash isbotlanadi. 

Xulosa: 

                                        

 bo`lib,  

             

 

 

                         

 kelib chiqadi. 

5)-6) formulalari shunga o`xshash isbotlanadi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

Misollari. 

1) 

   

 

        

  ifodani ko`paytma shaklida yozing. 

Yechish. 

   

 

     

 

       

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 formulaga asosan 

   

 

        

 

       

 

   

 

 

   

 

   

 

 

         

 

      

 

           

 

     

  bo`ladi.     

Javob:

        

 

     

 . 

 

 

 

2)  

         

 

     

 

      

 

 ni soddalashtiring. 

Yechish. Maxrajdagi ifodaga 

   

 

     

 

       

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 formulani qo`llaymiz: 

 

         

 

     

 

      

 

 

         

 

     

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

 

 

         

 

          

 

         

 

 

 

       

 

.  

Javob:

 

 

       

 

 

 

 

3) 

       

 

     

 

       

  ni soddalashtiring. 

Yechish. Birinchi qo`shiluvchiga 

             

 

 

                         

  formulani qo`llasak, quyidagilar kelib 

chiqadi: 

       

 

     

 

       

 

     

 

 

      

 

   

 

         

 

   

 

          

 

 

 

         

 

         

 

         

 

       

 

       

 

       

 

       

 . 

Javob: 

     

 . 

 

 

 

---

4) 

       

 

 

      

           

 

 

 

     

 ni soddalashtiring. 

Yechish. Avval burchaklarini kichraytiramiz: 

       

 

 

      

           

 

 

 

     

 

               

                  

 

            

              

 

            

              

. 

 

Endi maxrajiga formulani qo`llaymiz: 

            

              

 

            

     

      

 

   

      

 

 

            

                     

 

 

        

. 

Javob: 

 

        

. 

 

5) 

      

 

         

 

         

  ni soddalashtiring. 

Yechish. 

      

 

         

 

       

  

 

    

 

 

   

  

 

    

 

 

           

 

         

 

          

 

          

 

   

 

 

          

 

           

 

            

 

    

 

 

            

  bo`lganligi sababli, 

      

 

         

 

         

 

          

 

         

 

          

 

       

 

 

    

 

            

 

        

 

   

 

bo`ladi. 

Javob: 

 

. 

 

6) 

      

 

        

 

       

 

        

 

 ni soddalashtiring. 

Yechish. Avval burchaklarni kichraytirib, funksiyalarini to`g`rilab olamiz: 

      

 

        

 

       

 

        

 

 

      

 

     

  

 

  

 

 

       

 

     

 

 

   

 

 

 

      

 

      

 

       

 

       

 

. 

Endi formulalarni qo`llaymiz: 

      

 

      

 

       

 

       

 

 

        

 

      

 

        

 

      

 

 

      

 

      

 

 

  

 

 

  

 

 

  

  

 

  

 

. 

Javob: 

  

 

. 

---

7)  

   

 

 

  

       

  

 

  

   

 

  

 ni soddalashtiring. 

Yechish. Avval burchaklarni bir maxrajga keltiramiz:

    

  

  

       

   

  

   

 

  

     

   

  

       

   

  

   

 

  

. 

 

Endi formulalarni qo`llaymiz va 

   

   

  

 ni sinusga almashtiramiz: 

   

   

  

       

   

  

   

 

  

 

 

 

     

   

  

     

 

 

      

   

  

 

 

  

         

   

  

 

 

  

        

   

  

      

   

  

     

   

  

   

  

 

       

 

 

 

   

  

        

   

  

     

   

  

       

   

  

     

   

  

     

   

  

       

   

  

       

 

 

   

 

 

. 

Javob: 

 

 

 

. 

 

 

 

 

8) 

     

 

      

 

      

 

       

 

   

 

      

 

      

 

      

 

 ni soddalashtiring. 

Yechish.  

     

 

      

 

      

 

       

 

   

 

      

 

      

 

      

 

 

      

 

      

 

         

 

      

 

 

    

 

      

 

        

 

      

 

 

 

      

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

 

        

  

 

  

 

 

   

  

 

  

 

 

 

     

 

  

 

 

   

 

  

 

 

       

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

      

 

     

 

      

 

      

 

       

 

       

 

         

 

       

 

 

      

 

      

 

       

 

 

       

 

       

 

       

 

 

 

     

 

      

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

 

     

 

      

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

 

 

     

 

      

 

 

      

 

       

 

 

     

 

     

 

 

 

 

=

       

 

 

     

 

 

       

 

      

 

     

 

         

 . 

Javob: 

       

 .