Sharga urinma tekislik Shar simmetriyasi

Shar simmetriyasi.
3.2 – teorema. Sharning istagan diametral tekisligi uning simmetriya tekisligi bo`ladi. Sharning markazi uning simmetriya markazidir. D-rasm
I s b o t i. - diametral tekislik va X – sharning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin (d – rasm). tekislikka nisbatan X nuqtaga simmetrik X` nuqtani yasaymiz.
tekislik XX` kesmaga perpendikulyar va uni bu tekislik teng ikkiga bo`ladi (A nuqtada). To`g`ri burchakli OAX va OAX` uchburchaklarning tengligidan: OX`=OX.
bo`lgani uchun , ya`ni X nuqtaga simmetrik nuqta sharga tegishlidir. Teoremaning birinchi da`vosi isbotlandi.
Endi X`` - shar markaziga nisbatan X nuqtaga simmetrik nuqta bo`lsin. U holda OX`` = , ya`ni X`` nuqta sharga tegishli. Teorema isbotlandi.


Ikkita sferaning kesishmasi.

3.3 – teorema. Ikkita sferaning kesishish chizig`i aylanadir.

Isboti. O₁ va O₂ – sferaning markazi, A – ularning kesishish nuqtasi bo`lsin k-rasm). A nuqta orqali O<sub>1</sub>O<sub>2</sub> to`g`ri chiziqqa perpendikulyar a tekislikni o`tkazamiz.
A tekislikning O₁O₂ to`g`ri chiziq bilan kesishgan nuqtani B bilan belgilaymiz 20.3 – teoremaga asosan a tekislik ikkala sferani A nuqtadan o`tuvchi B markazli K aylana bo`yicha kesib o`tadi. Shunday qilib, K aylana sferalarning kesishmasiga tegishli ekan.
Endi sferalar K aylananing keyin kesishish nuqtalaridan boshqa nuqtalariga ega emasligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, sferalarning X kesishish nuqtasi K aylanada yotmasin. X nuqta va O₁O₂ to`g`ri chiziq orqali tekislik o`tkazamiz. Bu tekislik sferalarni markazlari O<sub>1</sub> va O<sub>2</sub> bo`lgan aylanalar bo`yicha kesib o`tadi. Bu aylanalar K aylanaga tegishli bo`lgan ikki nuqta va yana X nuqtada kshishadi. Ammo ikkita aylana ikkitadan ortiq kesishish nuqtasiga ega bo`lmaydi. Biz ziddiyatga uchradik.



k-rasm l-rasm
Shunday qilib, sferalarimizning kesishmasi (K) aylana ekan. Teorema isbotlandi.
Masala . Radiusi K bo`lgan ikkita teng shar shunday joylashganki, birining markazi ikkinchisining sirtida yotadi. Bu sharlar sirtlarining kesishgan chizig`i uzunligini toping. <
Yechilishi. (l-rasm)Sharlarning markazlaridan kesim utkaza-miz Masalada so`z borayotgan chiziq aylanadir (3.3-teorema). Uning radiusi tomonlari R ga teng bo`lgan teng tomonli OAO₁ uchburchakning balandligiga teng. Balandligi ga teng. Demak, izlanayotgan chiziqning uzunligi gat teng. .

Agar ko`pyoqning hamma uchlari shar sirtida yotsa, ko`pyoq sharga ichkichizilgan deyiladi. Agar ko`pyoqning hamma yoqlari shar sirtiga urinsa, bunday ko`pyoq sharga tashqi chizilgan deyiladi.

Masala. Muntazam piramidaga tashqi chizilgan , sharning markazi uning o`qida yotishini isbotlang.
Yechilishi. Sharning O markazidan piramida asosi tekisligiga OA perpendikulyar tushiramiz .
X – piramida asosining ixtiyoriy bir uchi bo`lsin. Pifagor teoremasiga ko`ra:
AX² = OX² – OA² =R² – OA²


Shunday qilib, piramida asosining istagan uchi uchun aynan bir xil.Bu esa A nuqta piramida asosiga tashqi chizilgan aylananing markazi ekanini anglatadi. Demak sharining O markazi piramidaning o`qida yotadi.