Sh. X. Xushmurodov atom yadrosi va zarralar fizikasi

1.9-§. Yadroning statistik xususiyati
Yadroning spin bilan bog’liq bo’lgan yana muhim xarakteristikasi statistik xususiyatidir. Statistika bir necha aynan bir xil zarralarning kollektiv xususiyatidir.
Bir xil mikrozarralar, masalan, ikkita proton barcha xususiyatlari bilan aynan bir xil bo’lib, bir-birlaridan farqlanmaydi. Aynan bir xil ikki zarra o‘zaro joylari almashtirilsa holat xususiyatlari hech ham o‘zgarmaydilar. Bundan bir xil zarralarni almashtirishlik yangi holatga olib kelmaydi.
Demak, ikkita bir xil a va b zarralardan biri tayinli a va ikkinchisi b holatda emas, balki ixtiyoriy a yoki b holatlarda tura oladi.
Ma’lumki, kvant mexanikasiga ko‘ra, zarra trayektoriyasini aniqlash mumkin emas, faqatgina to’qin funksiyasi amplitudasiga ko‘ra, zarrachani topish ehtimoligini beradi. Agar aynan bir xil a va b zarralar harakatlanib tursa qaralayotgan vaqtda qaysi bir sohaning qaysi joyida ekanligini aniqlab bo’lmaydi. Bu zarralarni qayd qiladigan bo’lsak, hisoblagich qaysi birini qayd etayotganligini bilib bo’lmaydi, faqatgina bulaming hisoblagichga kelib tushgan ehtimoligini aniqlash mumkin. Shunday qilib, mikroolamda aynan bir xil zarralar holati bu zarralar joyini o’zaro almashtirish bilan o‘zgarmasligi kerak.

Kvant nazariyasiga ko’ra, n ta zarradan iborat sistemaning koordinatalari r₁…r_n va spin proeksiyalari m₁…m_n bo’lgan to’lqin funksiyasi 𝜓 m₁ m₂…m_n(r₁…r_n ). Bu sistemadagi ikkita zarra masalan, birinchi va ikkinchilarini o’zaro almashtirsak sistema holati o’zgarmasligi kerak.

(1.9.1)
bu yerda – almashtiruvchi operator.

Almashtiruvchi operator P ni ikki marta qo‘llab, funksiya oldingi holatiga keladi: ya’ni

Istalgan bir juft zarralar uchun yuqoridagidek mulohaza qilish mumkin. Ikkita bir xil zarrani o’zaro almashtirish bilan to’lqin funksiya o’zgarmasa zarralarga nisbatan simmetrik, agar o’zgarsa zarralarga nisbatan antisimmetrik.

Ko’rsatish mumkinki, zarralar almashtirishlarga nisbatan u yoki bu simmetriyaga tegishli bo’ladi. Zarralarning almashtirishlarga nisbatan xususiyatini statistika deb ataladi

Agar zarralarning istalgan juftini o’zaro almashtirish bilan to’lqin funksiyasi simmetrik bo’lsa, u vaqtda bu zarralar Boze-Eynshteyn statistikasiga bo’ysunadi.
(1.9.2)
Bu zarralarga boze-zarralar yoki bozonlar deb ataladi.

Agar zarralarning istalgan juftini o’zaro almashtirish bilan to’lqin funksiyasi antisimmetrik bo’lsa, u vaqtda bu zarralar Fermi-Dirak statistikasiga bo’ysunadi.

bu zarralarga Fermi zarralar yoki fermionlar deb ataladi
Fermi-Dirak statistikasidagi zarralar Pauli tamoiliga bo’ysunadi. Pauli tamoiliga ko’ra, har qanday yopiq sistemada bir xil xususiyatga ega hatto ikkita fermion joylasholmaydi. Pauli tamoiliga ko’ra, fermion n,l,I,m kvant sonlarining birortasi bilan farqlanishi lozim. Kvant mexanikasidan holatlardagi ikki xil zarra to’lqin funksiyasi ga teng.

Ikkita fermion zarralar uchun (1.9.3) ga ko‘ra, ko‘paytma antisimmetrik bo’ladi:

. (1.9.4) Agar funksiya bir xil bo’lsa, (1.9.4) ifoda nol bo’ladi. Pauli tamoyili bajariladi.

Pauli tamoyili olamtuzilishini tushuntirish uchun qo‘llaniladi. Elementlar davriy sistemasini, atom yadrosini, va kristallar strukturasini busiz tushuntirib boMmaydi.

(1.9.4) ifodaning ikkita bozon zarralar uchun simmetrik funksiyasi:
(1.9.5)

(1.9.5) ifoda bir xil funksiyalar uchun nolga teng bo’lmaydi, ya’ni bir holatda istalgancha bozonlar tura oladi. Bozonlar Pauli tamoyiliga bo‘ysinmaydi. Shunday qilib, elementar zarralar, toq yadrolar spinlari yarimli butun I= 1/2, 3/2, 5/2 bo’lsa fermionlar bo‘lib, Fermi-Dirak statistikasiga bo‘ysunadi. Agar elementar zarralar juft yadrolar spinlari butun I = 0,1,2 bo’lsa bozonlar bo’lib, Boze-Eynshteyn statistikasiga bo‘ysunadi.

Sistema bir necha fermion-elementar zarralardan tashkil topgan bo’lsa, bu zarralar sonining toq yoki juftligiga ko‘ra, Fermi-Dirak yoki Boze-Eynshteyn statistikasiga mansub bo’lishligi mumkin.
Yadro nuklonlari fermion bo’lganligi uchun juft yadrolar (spinlari butun son) bozonlar bo’lib, Boze-Eynshteyn statistikasiga bo‘ysunsa, toq yadrolar fermion bo’lib,(spinlari I= 1/2 - 9/2) Fermi-Dirak statistikasiga bo‘ysunadi. Chunki nuklonlar to’lqin funksiyasi har bir juft almashtirishlarga nisbatan antisimmetrik bo’lib, juft sondagi nuklonlar uchun to’lqin funksiyasi ishorasini juft marotaba, toq sondagi nuklonlar uchun esa toq marotaba almashtirish lozim bo’ladi. Natijadajuft nuklonlar simmetrik, toq nuklonlar antisimmetrik to’lqin funksiyasiga ega bo’ladi.
Masalan, alfa-zarra ( ) ikkita proton, ikkita neytrondan tashkil
topgan. Ikkita deytondan iborat deyishlik mumkin. Nuklonlarni to’la almashtirish uchun oldin protonlarni, keyin neytronlarni xususiy funksiyaning ishorasini ikki marta almashtirish kerak, natijada ishorasi o‘zgarmay qoladi.