Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

к

2

к +1 2J

< к! < e

< (к +1)! < e

n = к +1 da

tengsizlik

V² У V ^e У

bajarilishini isbotlash kerak. Bu tengsizlikning chap tomonini isbotlaymiz

к

а л^к f к+о^{к+1 (к}+¹⁾¹

(к +1)! = к !• (к +1) > (к +1)

k +1

k +1

v e У

V^е J

^гк + О^к+1

>

₁^k

1 +- к

к+1

(к +1)

V e

e

(5) tengsizlikning chap tomonini isbotlaymiz.

к

2

Г ^\^к

(к +1)! = к !• (к +1) < e

= e

= e

X

v ² у

V ² У

v ² у

V

к +1

X-

(к +1)

к +1

V

J

<1 <1

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun (5) tengsizlik bajariladi deb hulosa qilamiz.

r

\

1

1 + -

v ⁿ У

Eslatib o’tamiz, (2) tengnsizlik va n > 1 da

< e tengsizlikdan foydalanib,

< e




n +1

1+1

V n у

ⁿ

n

n

k! <

< e

ⁿ

n

Ч^У

1. 
   masala. Tengsizliklarni isbotlang:
   

= ^2 + V2 + ... +^ЖN;

n+1 та илди

з

=
(7)

x
^4 + V4"+... + л/4 <3, neN

.

n та илдиз

5. 
   tengsizlikni isbotlaymiz.
   

Induktsiya bazasi. n = 1 da: x_n = V2W2 2 + 242 +1 = = (л/2 +1)² = V2 +1. Induktsiya bazasi isbotlandi.

Induktiv o’tish. n = k da x_k = ^2 + V2+... + V²

' V '

k+1 та илдиз

deb faraz qilamiz. n = k +1 da tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak

:

V
x

k+1
2+V2+...
k +2 та илди

з

V
x

k+1
2+V2+... +W 242+1 = V2+

1

k +1 та илдиз <л/2+1

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun (6) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.

6. 
   tengsizlikni isbotlaymiz.
   

Induktsiya bazasi. n = 1 da: x₁ = л/4 < V9. Induktsiya bazasi isbotlandi

.к та илдиз

4. 
   +
   faraz qilamiz. n = к +1 da: x +. =
   ^4 + ^4+... + -s/^T

к та илдиз ( <3)

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun (7) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.

3-masala.

5
Vn e N: n > 6.

(8)
ⁿ < 5⁵ f 5^{Л n-5} n! < 5! v6

у

tengsizlikni isbotlang.

6-5

.Induktsiya bazasi isbotlandi.

k -5

, к > 6 tengsizlik bajariladi deb faraz

V^uy

W _ \^к +^1-5

-к +1

5

< —

qilamiz.

tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.

(к +1)! 5!

5 5⁵

Induktsiya bazasi. n = 6 da: — < —

6! 5!


V ⁶ У


5^к 5⁵

Induktiv o’tish. —< —

к! 5!


5

v ⁶ у

5^к+¹ 5^к

5^5

f^5 Л