Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

2b bc ac ab

2a
c

tengsizlik bajarilishini isbotlang

.

‘ + + *

ln a ln b ln c

60. 
    Agar 1 < a < b < c bo’lsa, u holda
    

b c b , J 1 1 1 ^л

a

+ + < — (a + b + c)

ln a ln b ln c 3

i 3/3 3

a b c a b c

• 
  + + + — + — ?
  

ln c ln b ln c bc ac a

b

bo’lishini isbotlang.

60. 
    nj 2 -л/3 + nl 2 + л/3 > 2, (n = 2,3,4,...) ekanligini isbotlang.
    
61. 
    Ixtiyoriy a, b, c nomanfiy sonlar uchun (a + b)(b + c)(c + a) > 8abc
    

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang

60. 
    .Ixtiyoriy a₁, a₂,...,a_n musbat sonlar uchun
    

a
> nV2
₁ + a₂ a₂ + a₃ a ₁ + a a + a₁

1 2 I I 2 3 I I I n _1 n I I n 1

+ — - +... + - +

a₃ V a₄ \ a₁ у a₂

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.

Yensen tengsizligl:

V
a₁ + a₂ 2 +

^a3

64.
(Sa)² + (>bi)² <TJaf+b² (a,b >0) ^teng^sizlikn

ⁱ

isbotlang. (Ko’rsatma: y = V 1 + x²).

ⁿ _л a n

65. 
    V—^l— > tengsizlikni isbotlang, bu yerda S = a₁ + a₂ + ...a_n, a_t > 0 .
    

7=1 s _ a n _ 1

n n

65. 
    (Vx)^p > -^p_1 * Vx_i^p, p > 1, x > 0 tengsizlikni isbotlang.
    

i=1 i=1

Koshl-Bunyakovskly tengsizligi:

65. 
    (a² + b² + c²)(h² + hi + h²) > 36S² tengsizlikni isbotlang, bu yerda a, b, c lar uchburchakning tomonlari; h_a, h_b, h_c lar uchburchakning shu tomonlarga tushirilgan balandliklari; S uchburchakning yuzi.
    

66. ab + ^J(1 _ a²)(1 _b²) < 1, |a| < 1, Ц < 1 ekanligini isbotlang.

65. 
    Agar a + 2b + 3c = 14 bo’lsa, a² + b² + c² > 14 bo’lishini isbotlang.
    

Koshi tengsizligi:

65. 
    a, b, c nomanfiy sonlar uchun a² + b² + c² = 1 shart bajariladi. a + b + c < ekanligini isbotlang.
    
66. 
    a,b,c > 0, a + b + c = 1 berilgan. (1_ a),(1_ b)(1_ c) > 8abc, a + b + c = 1 tengsizlikni isbotlang.
    

Isbotlang: abc > (a + b _ c)(a + c _ b)(b + c _ a), (1 _ b)(1 _ c)8abc, a + b + c =

1

65. 
    
    
66. 
    x, y, z > 0, xyz = 1 berilgan. (3x + 2y + z)(3y + 2z + x)(3z + 2x + y) > 216 ni isbotlang.
    

Bernulli tengsizligi:

75. 
    V'1 - x + V1 + x + ^1 - x² + -^1 + x² = 4 tenglamani yeching.
    
76. 
    4Ц - x + ^1 + x = 4 tenglamani yeching.
    1 --x
    
    24
    
    tenglamani yeching.
    
    1
    
    36
    
    +
    
    

a

.10

.10

10

d

c

a

78. (—)¹⁰ + (—)¹⁰ + (—)¹⁰ + (—)¹⁰ > abcd(-^ + + -^j) tengsizlikni isbotlang.

a⁴ b⁴ c⁴ d⁴

1111

Manbaalar ro’yxati

1. 
   Hojoo Lee. Topics in Inequalities-Theorems and Techniques. Seoul: 2004.
   
2. 
   Andreescu T., Dospinescu G., Cirtoaje V., Lascu M. Old and new inequalities. Gil Publishing House, 2004.
   
3. 
   Mathematical Olympiads, Problems and solutions from around the world, 1998­1999. Edited by Andreescu T. and Feng Z. Washington. 2000.
   
4. 
   Math Links, http://www.mathlinks.ro
   
5. 
   Art of Problem Solving, http://www.artofproblemsolving.com
   
6. 
   Math Pro Press, http://www.mathpropress.com
   
7. 
   K.S.Kedlaya, Ahttp://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/s- index.html
   
8. 
   T.J.Mildorf, Olympiad Inequalities, http://web.mit.edu/tmildorf
   
9. 
   Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002.
   
10. 
    А. Engel. Problem-Solving Strategies. Parts 1,2 . Springer-Verlag New York Inc. 1998.
    
11. 
    Ayupov Sh., Rihsiyev B., Quchqorov O. «Matematika olimpiadalar masalalari» 1,2 qismlar. T.: Fan, 2004
    
12. 
    Математические задачи, http://www.problems.ru
    
13. 
    Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
    
14. 
    Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.: Мир, 1965.
    
15. 
    Коровкин П. П. Неравенства. — Вып. 5. — М.: Наука, 1983.
    

«Математика в школе» (Россия), «Квант» (Россия), «Соровский образовательный журнал» (Россия), “Crux mathematicorum with mathematical Mayhem” (Канада), “Fizika, matematika va informatika” (Узбекистон) журналлари.3. O’rta geometrik va o’rta garmonik qiymatlar orasidagi tengsizlik.

4) Agar a, b, c > 0 va a + b + c — 1