|
2- m a s a l a .
sin
270
°
va cos
270
°
ni toping.
(1; 0) nuqtani 270
°
ga burganda u (0;
-
1) nuqtaga o‘tadi
(59- rasm). Shuning uchun cos
270
°
=
0, sin
270
° = -
1.
3- m a s a l a .
sin
t
=
0 tenglamani yeching.
sin
t
=
0 tenglamani yechish — bu sinusi nolga teng bo‘lgan
barcha burchaklarni topish demakdir.
Birlik aylanada ordinatasi nolga teng bo‘lgan ikkita nuqta bor: (1; 0)
va (
-
1; 0) (58- rasm). Bu nuqtalar (1; 0) nuqtani 0,
p
, 2
p
, 3
p
va hokazo,
shuningdek,
-p
,
-
2
p
,
-
3
p
va hokazo burchaklarga burish bilan hosil qilinadi.
Demak,
t
=
k
p
bo‘lganda (bunda
k
– istalgan butun son) sin
t
=
0
bo‘ladi.
117
Butun sonlar to‘plami
Z
harfi bilan
belgilanadi.
k
son
Z
ga tegishli ekanligini
belgilash uchun
k
Î
Z
yozuvdan foydalani-
ladi («
k
son
Z
ga tegishli» deb o‘qiladi).
Shuning uchun 3- masala javobini bunday
yozish mumkin:
t
= p
k
,
k
Î
Z
.
4 - m a s a l a .
cos
t
=
0 tenglamani
yeching.
Birlik aylanada abssissasi nolga teng
bo‘lgan ikkita nuqta bor: (0, 1) va (0;
-
1)
(60- rasm).
Bu nuqtalar (1; 0) nuqtani
p
p
p
p
p
2
2
2
2
,
,
+
+
va hokazo, shuningdek,
p
p
p
p
2
2
2
-
-
,
va hokazo burchaklarga, ya’ni
p
p
2
+
k
(bunda
k
Î
Z
) bur-
chaklarga burish bilan hosil qilinadi.
J a v o b :
t
k
= +
p
p
2
,
k
Î
Z
.
5- m a s a l a .
Tenglamani yeching: 1) sin
t
=
1; 2) cos
t
=
1.
1) Birlik aylananing (0; 1) nuqtasi birga teng ordinataga ega.
Bu nuqta (1; 0) nuqtani
p
p
2
2
+
k
,
k
Î
Z
burchakka burish bilan hosil
qilinadi.
2) (1; 0) nuqtani 2
k
p,
k
Î
Z
burchakka burish bilan hosil qilingan
nuqtaning abssissasi birga teng bo‘ladi.
J a v o b :
k
t
p
+
=
p
2
2
bo‘lganda sin
t
=
1,
t
k
=
2
p
bo‘lganda cos
t
=
1,
k
Î
Z
.
3- t a ’ r i f .
a
burchakning tangensi
deb
a
burchak sinu-
sining uning kosinusiga nisbatiga aytiladi
(tg
a
kabi belgi-
lanadi).
Shunday qilib,
tg
sin
cos
a
a
a
=
.
Masalan,
tg
, tg
sin
cos
sin
cos
0
0
1
0
0
0
1
4
4
4
2
2
2
2
o
o
o
=
= =
=
=
=
p
p
p
.
60- rasm.
!
118
Ba’zan
a
burchakning kotangensidan
foydalaniladi (ctg
a
kabi belgi-
lanadi). U ctg
cos
sin
a
a
a
=
formula bilan aniqlanadi.
Masalan,
ctg
, ctg
cos
sin
tg
270
0
1
270
270
0
1
4
1
4
1
1
o
o
o
=
=
=
=
= =
-
p
p
.
sin
a
va cos
a
lar ixtiyoriy burchak uchun ta’riflanganligini, ularning
qiymatlari esa
-
1 dan 1 gacha oraliqda ekanligini ta’kidlab o‘tamiz;
tg
sin
cos
a
a
a
=
faqat cos
a ¹
0 bo‘lgan burchaklar uchun, ya’ni
a
p
p
= +
2
k
,
Z
Î
k
dan boshqa ixtiyoriy burchaklar uchun aniqlangan.
Sinus, kosinus, tangens va kotangenslarning ko‘proq uchrab tura-
digan qiymatlari jadvalini keltiramiz.
6 - m a s a l a .
Hisoblang:
4
6
6
tg
cos
3
sin
4
p
p
p
-
+
.
Jadvaldan foydalanib, hosil qilamiz:
4
3
4
3
1
2 5
6
6
4
1
2
3
2
sin
cos
,
tg
p
p
p
+
= × +
×
- =
-
.
Sinus, kosinus, tangens va kotangenslarning bu jadvalga kirmagan
burchaklar uchun qiymatlarini V.M.Bradisning to‘rt xonali matematik
jadvallaridan, shuningdek mikrokalkulator yordamida topish mumkin.
Agar har bir haqiqiy
x
songa sin
x
son mos keltirilsa, u holda
haqiqiy sonlar to‘plamida
y
=
sin
x
funksiya berilgan bo‘ladi.
y
=
cos
x
,
a
sin
a
cos
a
tg
a
ctg
a
0
(0
°
)
0
1
0
Mavjud
emas
p
6
(30
°
)
1
2
3
2
1
3
3
p
4
(45
°
)
2
2
2
2
1
1
p
3
(60
°
)
3
2
1
2
3
1
3
(90
°
)
1
0
Mavjud
emas
0
p
2
p
(
180
°
)
0
-
1
0
Mavjud
emas
(
270
°
)
-
1
0
Mavjud
emas
0
3
2
p
2
p
(360
°
)
0
1
0
Mavjud
emas
119
y
=
tg
x
va
y
=
ctg
x
funksiyalar shunga o‘xshash aniqlanadi.
y
=
cos
x
funksiya barcha
x
Î
R
da aniqlangan,
y
=
tg
x
funksiya
Z
Î
p
+
¹
p
k
k
x
,
2
,
y
=
ctg
x
esa
Z
Î
p
¹
k
k
x
,
bo‘lganda aniqlangan.
y
=
sin
x
va
y
=
cos
x
funksiyalarning grafiklari 61- va 62- rasm-
larda tasvirlangan.
y
=
sin
x
,
y
=
cos
x
,
y
=
tg
x
,
y
=
ctg
x
funksiyalar
trigonometrik
funksiyalar deyiladi.
M a s h q l a r
277.
Hisoblang:
1)
sin
3
4
p
;
2) cos
2
3
p
;
3)
tg
5
6
p
;
4) sin(
-
90
°
);
5) cos(
-
180
°)
;
6)
( )
tg
- p
4
;
7) cos(
-
135
°);
8)
( )
sin
-
5
4
p
.
278.
Agar:
1) sin
a =
1
2
;
2) sin
a = -
2
2
;
3) cos
a =
3
2
;
4) cos
a = -
1
2
;
5) sin
,
a = -
0 6 ;
6)
cos
a =
1
3
bo‘lsa, birlik aylanada
a
burchakka mos keluvchi nuqtani tasvirlang.
61- rasm.
62- rasm.
120
Hisoblang
(279–281)
:
279.
1)
sin
sin
p
p
2
3
2
+
;
2)
( )
sin
cos
-
+
p
p
2
2
; 3) sin
cos
p
p
-
;
4) sin
cos
0
2
-
p
;
5) sin
sin ,
p
p
+
1 5 ; 6) cos
cos
0
3
2
-
p
.
280.
1) tg
cos
p
p
+
;
2) tg
tg
0
180
o
o
-
;
3) tg
sin
p
p
+
;
4) cos
tg
p
p
-
2 .
281.
1)
3
2
6
6
3
sin
cos
tg
p
p
p
+
-
;
2)
5
3
10
6
4
4
4
sin
tg
cos
tg
p
p
p
p
+
-
-
;
3)
(
)
2
6
3
6
tg
tg
cos
:
p
p
p
-
;
4)
sin cos
tg
p
p
p
3
6
4
-
.
282.
Tenglamani yeching:
1) 2sin
x
=
0; 2)
1
2
0
cos
x
=
; 3) cos
x
-
1
=
0; 4) 1
-
sin
x
=
0.
283.
(Og‘zaki.) sin
a
yoki cos
a
:
1) 0,49;
2)
-
0,875;
3)
-
2 ;
4) 2
-
2
ga teng bo‘lishi mumkinmi?
284.
a
ning berilgan qiymatida ifodaning qiymatini toping:
1) 2
2
4
sin
cos ,
a
a
a
p
+
=
bunda
;
2) 0 5
3
60
, cos
sin ,
a
a
a
-
=
bunda
o
;
3) sin
cos
,
3
2
6
a
a
a
p
-
=
bunda
;
4) cos
sin ,
a
a
p
a
2
3
2
+
=
bunda
.
285.
Tenglamani yeching:
1) sin
x
= -
1;
2) cos
x
= -
1;
3) sin3
x
=
0;
4) cos0,5
x
=
0;
5) cos2
x
-
1
=
0;
6) 1
-
cos3
x
=
0.
286.
Tenglamani yeching:
1) sin(
x+
p
)
= -
1;
2)
(
)
sin
1
2
1
0
x
+
=
;
3) cos(
x+
p
)
= -
1;
4) cos2(
x +
1)
-
1
=
0;
5) sin3(
x
-
2)
=
0;
6) 1
-
cos3(
x
-
1)
=
0.
121
22- §.
SINUS, KOSINUS VA TANGENSNING
ISHORALARI
1 . S i n u s v a k o s i n u s n i n g i s h o r a l a r i
Aytaylik, (1; 0) nuqta birlik aylana bo‘yicha soat mili harakatiga
qarama-qarshi harakat qilmoqda. Bu holda birinchi chorak (kvadrant)da
joylashgan nuqtalarning ordinatalari va abssissalari musbat. Shuning
uchun, agar 0
2
<
<
a
p
bo‘lsa, sin
a >
0 va cos
a >
0 bo‘ladi (63, 64- rasmlar).
Ikkinchi chorakda joylashgan nuqtalar uchun ordinatalar musbat,
abssissalar esa manfiy. Shuning uchun, agar
p
a p
2
< <
bo‘lsa, sin
a >
0,
cos
a <
0 bo‘ladi (63, 64- rasmlar). Shunga o‘xshash, uchinchi chorakda
sin
a <
0, cos
a <
0, to‘rtinchi chorakda esa sin
a <
0, cos
a >
0 (63, 64-
rasmlar). Nuqtaning aylana bo‘yicha bundan keyingi harakatida sinus
va kosinuslarning ishoralari nuqta qaysi chorakda turganligi bilan
aniqlanadi.
Sinusning ishoralari 63- rasmda, kosinusning ishoralari esa 64-
rasmda ko‘rsatilgan.
Agar (1; 0) nuqta soat mili yo‘nalishida harakat qilsa,
u holda ham
sinus va kosinusning ishoralari nuqta qaysi chorakda joylashganiga
qarab aniqlanadi;
buni 63, 64- rasmlardan bilish ham mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
