ScienceandEducation

"ScienceandEducation"ScientificJournal/ISSN2181-0842

November2021/Volume2Issue11

O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI
RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
FARG’ONA FILIALI
“____________________________________________________” FAKULTETI
"TT va KT"
KAFEDRASI
“DIFFRENSIAL TENGLAMALAR"
FANIDAN
MMUSTAQIL ISHI
731-21 guruh talabasi Bajardi: Xomudjonov Samandar
Qabul qildi: ____________________


Avtonom differensial tenglamalarning qo’zg’almas nuqtalari tasnifi haqida
Annotasiya: Maqolada avtonom differensial tenglamalar sistemasining qo’zg’almas nuqtalari o’rganilgan va har bir hollari alohida-alohida tasniflangan. Qo’zg’almas nuqtalarning tasnifi asosida fazali portretning sxematik grafigi chizib ko’rsatilgan va talabaga tushunarli bo’lishi uchun misol ham yechib ko‘rsatilgan.
Kalit so‘zlar: avtonom differensial tenglama, qo’zg’almas nuqta, tugun, markaz, egar, turg’un, fazali portret.
Fan va texnikada, tabiiy jarayonlar va hodisalarni o’rganishda differensial tenglamalar muhim rol o’ynaydi. Tabiiy hodisalarni o’rganishda fan va texnikaning turli sohalariga tegishli ko’plab amaliy masalalarni yechishda qaralayotgan voqea va jarayonlarga mos keluvchi qonuniyatlarni aks ettiruvchi matematik modellar oddiy differensial tenglamalar yoki xususiy hosilali differensial tenglamalar shaklida ifodalanadi.
Masalan, havo bosimining balandlikka bog’liq holda o’zgarishi, yuqumli kasallikning tarqalishi (epidemiya) natijasida aholining kasallikka chalinish qonuniyati (dinamikasi), uzunligi 𝑙 ga teng bo’lgan va quyi qismidan mahkamlangan prizma shaklidagi po’lat simning o’z og’irligi ostida egilish qonuniyatlari oddiy differensial tenglamalar orqali ifodalanadi.
Oddiy differensial tenglamalarni sifatiy tahlil qilishda ularning qo’zg’almas nuqtalarini aniqlash muhim rol’ o’ynaydi.
Ta’rif: agar oddiy differensial tenglamalar sistemasida erkli o’zgaruvchi oshkor qatnashmasa, bunday sistema avtonom sistema deyiladi.
Odatda avtonom sistemalarning fizika va texnika masalalaridan kelib chiqish ma’nosiga qarab erkli o’zgaruvchi sifatida 𝑡 vaqt olinadi. Ta’rifdan ko’rinadiki, avtonom sistemalar bilan tasvirlanadigan no’malum funksiyalarning o’zgarish qonuni vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydi. Fizikaviy qonunlarda odatda shunday bo’ladi.
Ma’lumki, chiziqsiz avtonom differensial tenglamalar sistemasini, uning qo’zg’almas nuqtalari atrofida chiziqlashtirish yordamida chiziqli avtonom differensial tenglamalar sistemasiga keltirilib, xususiyati o’rganiladi. Ushbuni inobatga olib, umumiylikka zid keltirmagan holda chiziqli avtonom differensial tenglamalar sistemalarini o’rganish masalasini ko’rib chiqamiz.
O’rganilayotgan jarayonning o’zini kelajakda qanday tutishini o’rganish uchun uni ifodalovchi avtonom differensial tenglamaning qo’zg’almas nuqtalarini topish va ularni tasniflash masalalarini o’rganamiz. Jarayonni o’rganishda sistemaning qo’zg’almas nuqtalarini topib va fazali portretini chizish orqali u haqda aniq ma’lumotga ega bo’lamiz. Aniqlangan ma’lumotlar orqali jarayonning kelajakda o’zining qanday tutishi haqida xulosa chiqarish mumkin. Shu munosabat bilan avtonom differensial tenglamalarning qo’zg’almas nuqtalarini tasniflashni ko’rib chiqamiz.
Umumiylikka zid keltirmagan holda quyidagi chiziqli differensial tenglamalar sistemasini qaraymiz:


yoki
𝑥̇ = 𝐴𝑥,


_{𝑥̇₁ = 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂,
𝑥̇₂ = 𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂,
⁽1⁾ bu erda 𝐴 - haqiqiy matsitsa va haqiqiy yechimi izlanadi.
Bizga (1) sistemaning umumiy yechimini 𝐴 matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash orqali izlash algoritmi ma’lum [1]. Endi (1) sistemaning fazali ko’rinishini, ya’ni tekislikdagi barcha 𝑡 ∈ ℝ da fazali trayektoriyasini joylashishini o’rganamiz.
Avvalo qo’zg’almas nuqtalarni yakkalangan va yakkalanmagan hollarga ajratish talab etiladi. Eslatib o’tamizki, (1) sistemaning qo’zg’almas nuqtalari deb 𝑡o’zgaruvchiga bog’liq bo’lmagan 𝑥⁽𝑡⁾ ≡ 𝑥⁰ yechimga aytiladi. Ko’rinadiki, bu yechim faqat va faqat
𝐴𝑥⁰ = 0, (2)
bo’lganda ((1) sistemaga qo’llanadigan) bajariladi, bundan 𝑥⁰ = 0 ekanligi oson ko’rinadi va bu doimo (2) ni qanoatlantiradigan trivial yechim deyiladi, shuningdek
(1) sistemani ham.
Chiziqli algebra kursidan ma’lumki, (2) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi faqat va faqat det 𝐴 = 0 bo’lganda notrivial yechimga ega bo’ladi.
Savol: ammo unda qanday qilib qo’zg’almas nuqtalar to’plami tashkil etiladi?
Ma’lumki, (2) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining chiziqli bog’liqsiz yechimlari soni 𝑛 − 𝑟 soniga teng, bu yerda 𝑛 = 2 kvadrat matritsa 𝐴 ning tartibi,
𝑟 = rank 𝐴 («tartib minus rang»).
Shuningdek, 1) 𝑟 = 0 da (ya’ni 𝐴 = Θ) barcha qo’zg’almas nuqtalar tekisligiga ega bo’lamiz, 2) 𝑟 = 1 da qo’zg’almas nuqtalar 𝑥 = 𝐶𝛼⃗ ko’rinishidagi to’g’ri chiziqqa aylanadi, bu yerda 𝛼⃗ ≠ 0 - (1) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining ixtiyoriy notrivial yechimi, bu erda 𝐶 ∈ ℝ (mos ravishda 1-2 rasmlar.)

Rasm 1. Rasm 2.

Ikkala holatda ham qo’zg’almas nuqtalar yakkalanmagan bo’ladi. Shunday qilib,

1. 
   sistemadagi yakkalanmagan qo’zg’almas nuqtalarning qaralishi mumkin bo’lgan barcha hollari ko’rib chiqildi va bundan keyin bu holga to’xtalib o’tmaymiz.
   

Endi yakkalangan qo’zg’almas nuqtalarni izlaymiz. Xuddi shunday, quyida keltirilgani kabi det 𝐴 ≠ 0 (𝐴 aynimagan (nevirojdennaya)) matritsa). Bu holda (1) sistema yagona qo’zg’almas nuqta 𝑥⁰ ≡ 0 − trivial yechimga ega bo’ladi.
det⁽𝐴 − 𝜆𝐸⁾ = 0 xarakteristik tenglamani umumiy ko’rinishda yozamiz:
𝑎₁₁ − 𝜆 𝑎_{12 2}

| _𝑎21 _𝑎22 _{− 𝜆}| = 0 ⟺ 𝜆
− 𝜆 Sp 𝐴 + det 𝐴 = 0 ⟺

⟺ 𝜆_1,2 =
bu yerda Sp 𝐴 = 𝑎₁₁ + 𝑎₂₂.


Sp 𝐴 ± √⁽Sp 𝐴⁾² − 4 det 𝐴
,
2

det 𝐴 ≠ 0 shartni hisobga olganda 𝜆_1,2 xos qiymatlar orasida nolga teng bo’lgani yo’q, 𝜆_1,2 ≠ 0. Shuning uchun quyidagi hollar kelib chiqishi mumkin:

1. 
   Xos qiymatlar haqiqiy va turlicha;
   

2. 
   Xos qiymatlar haqiqiy va teng;
   
3. 
   Xos qiymatlar juft kompleks qo’shma sonlar. Har bir holni alohida-alohida ko’rib chiqamiz.
   

1. 
   𝜆₁, 𝜆₂ haqiqiy va turlicha. Unda, (1) sistemaning umumiy yechimini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
   

𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂⁾ = 𝐶₁𝛼⃗₁𝑒 ^𝜆1𝑡 + 𝐶₂𝛼⃗₂𝑒^𝜆2𝑡, (3)

bu yerda


𝛼⃗₁
= (^𝛼11) , 𝛼⃗
^𝛼12 ²
= (^𝛼21)
^𝛼22

lar 𝐴 matritsaning xos vektorlari, 𝐶₁, 𝐶₂ − ixtiyoriy haqiqiy sonlar (aytib o’tamizki, 𝐶₁ = 𝐶₂ = 0 bo’lganda trivial yechimga ega bo’lamiz.)
1. 1a) 𝜆₂ < 𝜆₁ < 0.
Bu holda (3) formuladan ko’rinadiki,

𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂⁾ ⟶
𝑡→+∞
0. (4)

Kuzatish mumkinki, quyidagi baholashga ko’ra, 𝑥⁰ = 𝑥⁽𝑡; 0,0⁾ = 0 trivial yechim turg’un hisoblanadi, ya’ni
^‖𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂^)‖ ≤ ^|𝐶₁^|‖𝛼⃗₁^‖ + ^|𝐶₂^|‖𝛼⃗₂^‖, 𝑡 ∈ ^[0; +∞⁾, ⁽5⁾
bu yerda va bundan keyin ^‖∙^‖ - yevklid norma vektorini anglatadi. Masalan,



^‖𝛼⃗₁^‖ = ^√𝛼² + 𝛼² . (5) va (6) dan aniqlanadiki, trivial yechim asimptotik turg’un.
11 12
Demak, 𝑡 → +∞ da 𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂⁾ ⟶ 0. Fazali trayektoriya qiyaligini, ya’ni o’zini
qanday tutishini aniqlaymiz. Aniqroq aytganda, 𝐶² + 𝐶² ≠ 0 da ixtiyoriy
1 2
fiksirlangan fazali trayektoriyani qaraymiz. Yechimlarni bir-biriga bo’lib yuborsak

𝑑𝑥₂
𝐶₁𝜆₁𝛼₁₂𝑒 ^𝜆1𝑡 + 𝐶₂𝜆₂𝛼₂₂𝑒^𝜆2𝑡
𝐶₁𝜆₁𝛼₁₂ + 𝐶₂𝜆₂𝛼₂₂𝑒^{(𝜆2−𝜆1)𝑡}

𝑑𝑥₁
=
𝐶₁
𝜆₁
^𝛼11
𝑒^𝜆1𝑡 + 𝐶₂
𝜆₂
^𝛼21
_𝑒𝜆₂𝑡 ⁼ _𝐶
𝜆₁
^𝛼11
+ 𝐶₂
𝜆₂
^𝛼21
_𝑒⁽𝜆₂−𝜆₁⁾𝑡 ⁽⁶⁾

1
bo’ladi, bu yerda 𝜆₂ < 𝜆₁ ekanligidan 𝜆₂ − 𝜆₁ < 0. (6) ifoda 𝑡 → +∞ da xarakteristik egri chiziqning qiyaligini ko’rsatadi.
i) 𝐶₁ ≠ 0 da
𝑑𝑥_{2 →} 𝛼₁₂

𝑑𝑥₁
^𝛼11

𝜆₁ ga mos keluvchi xos vektorning qiyaligi, ^|𝜆₁^| − 𝑚𝑖𝑛 (xususiy holda 𝐶₁ ≠
0, 𝐶 = 0 da ^𝑑𝑥2 ≡ ^𝛼12 ga ega bo’lamiz);

² 𝑑𝑥₁
ii) 𝐶₁ = 0 da
^𝛼11


𝑑𝑥_{2 ≡} 𝛼₂₂

𝑑𝑥₁
^𝛼21

𝜆₂ ga mos keluvchi xos vektor qiyaligi, ^|𝜆₂^| − 𝑚𝑎𝑥, 𝑡 → −∞ da (^‖𝑥^‖ → +∞
bo’lganda) qandaydir ma’noda teskari vaziyatga ega bo’lamiz:

i’) 𝐶₂ ≠ 0 da


𝑑𝑥_{2 →} 𝛼₂₂

𝑑𝑥₁
^𝛼21

(xususiy holda 𝐶
= 0, 𝐶
≠ 0 da ^𝑑𝑥2 ≡ ^𝛼12 ga ega bo’lamiz);

1 2
ii’) 𝐶₂ = 0 da
𝑑𝑥₁
^𝛼11


𝑑𝑥_{2 =} 𝛼_12.

𝑑𝑥₁
^𝛼11

Fazali trayektoriyani nafaqat 𝑡 → ±∞ da, balki barcha 𝑡 ∈ ℝ larda o’rganamiz. Buning uchun (6) formulaga qaytamiz va 𝑡 o’zgaruvchi bo’yicha o’ng tomonni hosilasini hisoblaymiz. Almashtirish kiritamiz:
𝑎 = 𝐶₁𝜆₁𝛼₁₂, 𝑏 = 𝐶₂𝜆₂𝛼₂₂,
𝑐 = 𝐶₁𝜆₁𝛼₁₁, 𝑑 = 𝐶₂𝜆₂𝛼₂₁,
𝜇 = 𝜆₂ − 𝜆₁,
shunda (6) formulaning o’ng tomoni quyidagi ko’rinishni oladi:
𝑎 + 𝑏𝑒^𝜇𝑡
_{𝑐 + 𝑑𝑒𝜇𝑡} . (6𝑎)
𝐴 matritsaning xos vektorlari bo’lgan 𝜆₁ ≠ 𝜆₂ lar bilan aniqlanuvchi shunday
𝛼⃗₁, 𝛼⃗₂ vektorlarning chiziqli bog’liqsizligidan 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 ≠ 0 bo’ladi. Bu holda quyidagicha bo’lgan ixtiyoriy (6𝑎) ifoda

𝑎 + 𝑏𝑒^{𝜇𝑡 ′}
( ) =
𝑐 + 𝑑𝑒^𝜇𝑡
𝑏𝜇𝑒^𝜇𝑡(𝑐 + 𝑑𝑒^𝜇𝑡) − ⁽𝑎 + 𝑏𝑒^𝜇𝑡)𝑑𝜇𝑒^𝜇𝑡
(𝑐 + 𝑑𝑒^{𝜇𝑡)2 =}
𝜇𝑒^𝜇𝑡(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑^{) (}𝑐 + 𝑑𝑒^𝜇𝑡)2

ko’rinishga ega bo’ladi.
Yuqoridagilarni hisobga olgan holda, barcha 𝑡, 𝐶₁, 𝐶₂ lar uchun fazali trayektoriyani tasvirlaymiz (3-rasm).

Rasm 3. Rasm 4.

Bunday tipdagi qo’zg’almas nuqtaga tugun deyiladi, bu holatda (𝜆₂ < 𝜆₁ < 0) trivial yechim asimptotik turg’un.
1. 1b) 0 < 𝜆₁ < 𝜆₂.

0 < 𝜆₁ < 𝜆₂ holdan yuqoridagi kabi 𝑡 → −𝑡 almashtirish olinadi, shuning uchun fazali trayektoriya 3-rasmdagi kabi ko’rinishda bo’ladi, lekin harakat yo’nalishi trayektoriya bo’ylab teskarisiga almashadi (3-4 rasmga o’xshash ravishda).
1.2) Xos qiymatlar haqiqiy va turli ishoraga ega. Faraz qilamiz 𝜆₂ < 0 < 𝜆₁
bo’lsin. (3) dan:
𝑥⁽𝑡; 𝐶₁ = 0, 𝐶₂⁾ = 𝐶₂𝛼⃗₂𝑒^𝜆2𝑡 ⟶ 0,
𝑡→+∞

𝑥⁽𝑡, 𝐶₁ ≠ 0, 𝐶₂⁾ ⟶
𝑡→+∞
+∞; (7𝑎)

^‖𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂⁾ − 𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂ = 0^)‖ = ‖𝐶₂𝛼⃗₂𝑒^𝜆2𝑡‖ ⟶ 0,
𝑡→+∞
𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂ = 0⁾ = 𝐶₁𝛼⃗₁𝑒 ^𝜆1𝑡 ⟶ 0,
𝑡→+∞

𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂ ≠ 0⁾ ⟶
𝑡→+∞
+∞ , (7𝑏)

^‖𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂⁾ − 𝑥⁽𝑡; 𝐶₁ = 0, 𝐶₂^)‖ = ‖𝐶₁𝛼⃗₁𝑒^𝜆1𝑡‖ ⟶ 0.
𝑡→−∞
(7a), (7b) dan 1.1a), 1.1b) hollardan fazali trayektoriyalar egriligining monoton o’zgarishiga ko’ra, fazali portretning sxemasini qurishimiz mumkin (5-rasm. 𝜆₁ < 0 < 𝜆₂ xos qiymatlarga javob beruvchi 𝛼⃗₁, 𝛼⃗₂ xos vektorlar belgilangan).

Rasm 5.

Bu tipdagi qo’zg’almas nuqta egar deyiladi. Ko’rish mumkinki, bunday qo’zg’almas nuqta doim turg’un emas.

2. 
   Xos qiymatlar haqiqiy va teng bo’lsin: 𝜆₁ = 𝜆₁ = 𝜆.
   

Chiziqli algebra kursidan ma’lumki, bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin:

1. 
   𝐴 matritsa ikkita chiziqli bog’liqsiz 𝛼⃗₁, 𝛼⃗₂ mos vektorlarga ega va (1) sistemaning umumiy yechimi oldingi holga o’xshash quriladi: 𝜆₁ = 𝜆₂ = 𝜆;
   
2. 
   𝐴 matritsa 𝛼⃗ xos vektorga va qo’shilgan 𝛽^⃗ vektorga ega.
   
   1. 
      Avvalo eslatib o’tamizki, bu holat faqat va faqat
      

𝐴 = (^{𝜆 0})
0 𝜆
bo’lganda amalga oshadi.
Bu holatda (1) sistemaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishni oladi:

1

2

1

2
bundan
𝑥 = 𝐶_1
𝜆⃗
𝑒 ^𝜆𝑡 + 𝐶_2
𝜆⃗
𝑒^𝜆𝑡 = (𝐶_1
𝜆⃗
+ 𝐶_2
𝜆⃗
_)𝑒 𝜆𝑡

𝑥₂
⁽𝐶₁𝛼₁₂ + 𝐶₂𝛼₂₂⁾𝑒^{𝜆𝑡
𝐶}1^𝛼12 ^{+ 𝐶}2^𝛼22

𝑥₁
^{= (}𝐶
^𝛼11
+ 𝐶₂
^𝛼21
⁾𝑒^{𝜆𝑡 =} 𝐶
^𝛼11
+ 𝐶₂
^𝛼21
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

1

1
Fazali portret 6-rasmda berilgan. Bu tipdagi qo’zg’almas nuqta dikritik tugun deyiladi. U 𝜆 < 0 da turg’un va 𝜆 > 0 da turg’un emas.

Rasm 6.

3. 
   Xos qiymat - kompleks qo’shma son, ya’ni 𝜆₁ = 𝜆^̅₂ = 𝜆 = 𝑝 + 𝑖𝑞.
   

Bu holda 𝐴 matritsa haqiqiy (aynan shunga ko’ra, 𝜆₁ = 𝜆^̅₂ ekanligi kafolatlanadi) ekanligidan xos 𝛼⃗₁, 𝛼⃗₂ vektorlarni quyidagicha kompleks qo’shma

2
qilib tanlash mumkin: 𝛼⃗ = 𝛼⃗₁ = ^̅𝛼⃗^̅̅. Haqiqatdan ham,
⁽𝐴 − 𝜆𝐸⁾𝛼⃗ = 0 ⟹ ^̅(̅𝐴^̅̅̅−^̅̅̅𝜆^̅𝐸^̅̅̅)̅𝛼^̅⃗ = 0 ⟹ ^(̅̅𝐴^̅̅̅−^̅̅̅𝜆^̅𝐸^̅̅̅)𝛼̅ = 0 ⇒ (𝐴 − 𝜆^̅𝐸)𝛼̅ = 0.
Chiziqli differensial tenglamalar va haqiqiy koeffitsientli sistemalarning xususiyatlaridan (1) sistemaning fundamental yechimlar to’plamini quyidagi ko’rinishda tanlash mumkin:
^{Re^[𝛼⃗𝑒^𝑝𝑡(cos 𝑞𝑡 + 𝑖 sin 𝑞𝑡^)], Im^[𝛼⃗𝑒^𝑝𝑡(cos 𝑞𝑡 + 𝑖 sin 𝑞𝑡^)]}, 𝜆 = 𝑝 + 𝑖𝑞.
Faraz qilamiz
𝛾₁₁ + 𝑖𝛾₁₂
𝛼⃗ = ( ).
𝛾₂₁ + 𝑖𝛾₂₂
Demak

𝐶_1
(𝛾₁₁ cos 𝑞𝑡 − 𝛾₁₂ sin 𝑞𝑡_{) +}
𝛾₂₁ cos 𝑞𝑡 − 𝛾₂₂ sin 𝑞𝑡

𝑥⁽𝑡; 𝐶₁, 𝐶₂⁾ = 𝑒^𝑝𝑡


+𝐶
₍^𝛾12
cos 𝑞𝑡 + 𝛾₁₁
sin 𝑞𝑡
)
. (8)

( ² 𝛾₂₂ cos 𝑞𝑡 + 𝛾₂₁ sin 𝑞𝑡 )

1. 
   𝑝 = 0 bo’lsin. Bunday tipdagi qo’zg’almas nuqta markaz deyiladi. Fazali trayektoriya portreti 7-rasmda berilgan. «Markaz» tipidagi qo’zg’almas nuqta turg’undir, lekin asimptotik turg’un emas.
   

Rasm 7.

2. 
   𝑝 ≠ 0 bo’lsin. Bunda fazali trayektoriya quyidagicha bo’ladi (8-rasm).
   

Rasm 8.

Misol sifatida quyidagi sistemani o’rganamiz:
𝑥^′ = 5𝑥₂,
_{{ ′} 1
𝑥₂ = −4𝑥₁ + 9𝑥₂.
Xarakteristik tenglamani tuzamiz:

_|−𝜆 5
−4 9 − 𝜆
| = 𝜆⁽𝜆 − 9⁾ + 20 = 𝜆² − 9𝜆 + 20

bo’lib, 𝜆₁ = 4, 𝜆₂ = 5 bo’ladi.
Ushbu holatda qo’zg’almas nuqta tugun bo’lib, 𝜆₁ va 𝜆₂ lar musbatligidan turg’un bo’lmagan tugun nuqta bo’ladi (4-rasm).
Maqolada avtonom differensial tenglamalar sistemasini qo’zg’almas nuqtalari to’liq tasniflab chiqildi. Bu tasniflar yordamida differensial tenglamani yechmasdan turib, uning yechimlari to’g’risida xulosa chiqarish mumkin. [1-12] ilmiy ishlarda bir qator avtonom differensial tenglamalar sistemalarining qo’zg’almas nuqtalari aniqlanib, yechimlari tahlil qilingan va sonli yechimlari topilgan. Shuningdek, chiziqli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemalari hamda differensial

tenglamalar uchun [13-22] da turli chegaraviy masalalar o’rganilgan. Aniqlangan yechimlarning kelajakda o’zini qanday tutishi to’g’risida xulosalar berilgan.
Aytish joizki, [23-30] maqolalar doirasida olib borilgan ilmiy izlanishlarda ham ta’lim berish sifatini yanada yaxshilashga bag’ishlangan pedagogik tavsiyalar berilgan. Ushbu turdagi masalalarni o’rganish o’quvchilardan (talabalardan) matematik masalalarni mustaqil ravishda muhokama qilish imkoniyatini beradigan bilim, ko’nikma va malakalarga ega bo’lishni talab qiladi. Bundan tashqari, o’rganilgan usullar talabalarning kelgusida avtonom differensial tenglamalar bilan ifodalanuvchi jarayonlarni o’rganishlari va turli ilmiy maqolalarni tahlil qilishlari hamda o’rganishlariga yordam beradi.

www.openscience.uz