Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

§19. Показательные неравенства

При решении показательных неравенств вида необходимо учитывать значение . При

0< <1 знак неравенств, при сравнении степеней, меняется на противоположный, то есть При >1 сравнение степеней выполняется с тем же знаком. Полученные алгебраические неравенства решают известными способами в зависимости от вида
неравенства.
Пример 58.
Учитывая область определения неравенства: и условие
, будем решать неравенство . Так как (основание 5>1).Квадратное неравенство
имеет решение С учетом области определения решение задачи:
Пример 59. 0;
Рекомендации к решению задачи.
Необходимо представить в виде , заменить
0 и решать алгебраическое неравенство.
Получите решение и, с учетом того, что 0, решением является интервал (0;4). Тогда 0 4
Пример 60. Ответ: 1;4.
Рекомендации к решению задачи
Учесть, что Использована формула суммы арифметической прогрессии, число членов которой равно .
Пример 61. 0;
Рекомендации к решению задачи.
Представить Затем, почленно разделить обе части неравенства на произведение .

§20. Логарифм числа

При вычислении логарифма числа, обозначенного , где , необходимо знать его свойства:

Пример 62. Вычислить: ;
а) Представим
б) Продолжим вычисления, используя представленные
преобразования:



Пример 63. Вычислить:
Преобразуем, используя свойства логарифма числа:

§21. Решение логарифмических уравнений

С помощью логарифмических свойств и алгебраических преобразований логарифмические уравнения сводятся к двум видам:

1) . Из равенства логарифмов с одним и тем же основанием следует равенство , которое требует решения алгебраического уравнения. Для получения правильного решения логарифмического уравнения необходимо сделать проверку полученного решения алгебраического уравнения, так как необходимо, чтобы .
2) . Замена переменной: приводит к
решению алгебраического уравнения . Получив решение
, переходят к решению уравнения
, то есть . Полученное
решение проверяется условием .