Сборник задач по общему курсу физики, 1979 М/у Механика №1885, электростатика №1990. Физические основы механики

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий центральные удары.
Абсолютно упругий центральный удар
подчиняется закону сохранения импульса и закону сохранения механической энергии:
ЗСИ:
ЗСЭ:
Абсолютно неупругий центральный удар
наличие общей скорости после соударения
ЗСИ:
ЗСЭ:

где - выделившееся после соударения тепло;
- кинетическая энергия тел до соударения;
- кинетическая энергия тел после соударения.


Твердое тело в механике.
Уравнение вращательного движения твердого тела относительно точки.

Будем рассматривать твердое тело, как систему n точек в системе координат xyz. Обозначим: , - масса и скорость i-той точки; - ее радиус-вектор; - внутренняя сила, действующая на i-тую точку со стороны k-той;

- равнодействующая всех внешних сил, действующих на i-тую точку.
Запишем для i-той материальной точки II закон Ньютона:
(38)
Умножим слева обе части (38) векторно на :
(39)
Видно, что
(40)
В самом деле:

причем:

Перепишем уравнение (39) с учетом (40):
(41)
Векторное произведение радиус-вектора точки на ее импульс называется моментом импульса точки относительно т. О:
(42)

Направление находится по правилу векторного произведения. Для случая на рисунке перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , и направлен вверх. Модуль момента импульса равен:

, (43)
Векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор этой силы называется моментом силы относительно т. О.

(11) Направление покажем на рисунке. Модуль момента силы равен: (44) где ,

Перпендикуляр , опущенный из т.О на направление вектора силы, называется плечом этой силы.
С учетом (41) и (43) перепишем (40) в виде:
(45)
Записывая аналогичные уравнения для всех n точек твердого тела и суммируя их почленно, получим:
(46)
Векторная сумма называется моментом импульса тела относительно т. О.
Векторная сумма моментов внешних сил, приложенных ко всем точкам системы, называется результирующим или главным моментом внешних сил относительно т. О:

Наконец, векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно т. О равна нулю: , т.к. момент каждой пары внутренних сил и равен нулю. Тогда уравнение (40) примет вид:
(47)
Это уравнение называется уравнением вращательного движения твердого тела относительно неподвижной точки.
Уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси Oz, проходящей через т.О. В этом случае вращение происходит только под действием составляющей Mz момента М внешних сил относительно точки О и уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси примет вид: (48)

Где называется результирующим моментом внешних сил относительно оси O_z, - составляющая момента импульса относительно оси O_z и называется моментом импульса тела относительно оси O_z.

Момент импульса тела относительно неподвижной оси.

Рассмотрим i-тую точку твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz. Если и - масса и скорость точки, а - ее радиус-вектор относительно т. О, то момент импульса точки равен: а его модуль:

Здесь учтено, что векторы и взаимно перпендикулярны . Проекция момента импульса на ось O_z равна:

где - радиус окружности, по которой движется i-тая точка при вращении тела,
- угловая скорость вращения.
Момент импульса всего тела относительно оси O_z.
(49)
Произведение массы точки на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси вращения называется моментом инерции точки относительно этой оси:
(50)
Величина:
(51)
называется моментом инерции тела относительно этой оси.
С учетом (51) перепишем (49) в виде:
(52)
Поставим (52) в уравнение (48) вращательного движения тела относительно оси O_z:

(53)
Это уравнение справедливо только в том случае, когда , из сравнения (53) со вторым законом Ньютона можно сделать вывод, что момент инерции является мерой инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.