Самостоятельная работа на соискание академической степени магистра

Метод проективной прямой[
Это построение принадлежит Кармайклу (1937).
Добавим новый элемент, который обозначим как ∞, к 11 элементам конечного поля F₁₁ (то есть вычетам по модулю 11). Это множество S из 12 элементов можно формально отождествить с точками проективной прямой над F₁₁. Назовём следующее подмножество размера 6,
{\displaystyle \{\infty ,1,3,4,5,9\},}
«блоком». С помощью этого блока мы получим другие блоки схемы S(5,6,12) путём многократного применения дробно-линейного преобразования:
{\displaystyle z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}
где a,b,c,d содержатся в F₁₁, а ad - bc является ненулевым квадратом в F₁₁. Если определить f (−d/c) = ∞ и f (∞) = a/c, эта функция отображает множество S на себя. На геометрическом языке это проекции проективной прямой. Они образуют группу по суперпозиции, и эта группа является проективной специальной линейной группой PSL(2,11) порядка 660. Существует ровно пять элементов в этой группе, оставляющих начальный блок без изменений, так что мы имеем 132 образа блока. Как следствие мультипликативной транзитивности этой группы, действующей на это множество, любое подмножество из пяти элементов множества S появится ровно в этих 132 образах размера шесть.
Метод Куртиса
Альтернативное построение схемы W₁₂ получается применением метода Р. Т. Куртиса, который предназначен для «ручного вычисления» блоков одного за другим. Метод Куртиса основывается на заполнении 3x3 таблиц чисел, которые представляют аффинную геометрию на векторном пространстве F₃xF₃, систему S(2,3,9).
Построение путём разбиения графа K₆
Связь между факторами полного графа K₆ генерирует схему S(5,6,12) Граф K₆ имеет 6 различных 1-факторизаций (путей разбиения рёбер на совершенные паросочетания), а также 6 вершин. Множество вершин и множество факторизаций дают по блоку. Для каждой пары факторизаций существует ровно одно общее совершенное паросочетание. Возьмём множество вершин и заменим две вершины, соответствующие ребру общего совершенного паросочетания меткой, соответствующей факторизациям. Добавим результат в множество блоков. Повторим процесс для оставшихся двух рёбер общего совершенного паросочетания. Просто возьмём множество факторизаций и заменим метки, соответствующие двум факторизациям, конечными точками ребра в общем совершенном паросочетании. Повторяем это для других двух рёбер паросочетания. Существуют 3+3 = 6 блоков для каждой пары факторизаций, и имеется 6C2 = 15 пар среди 6 факторизаций, что даёт 90 новых блоков. Наконец, берём полное множество 12C6 = 924 комбинаций 6 объектов из 12 и отбрасываем любые комбинации, которые имеют 5 или более общих объектов с любыми из 92 блоков. Остаётся ровно 40 блоков, что даёт 2+90+40 = 132 блоков схемы S(5,6,12).
Система Штейнера S(5, 8, 24)
Система Штейнера S(5, 8, 24), известная также как схема Витта или геометрия Витта, была описана Робертом Кармайклом и переоткрыта Виттом. Эта система связана с многими спорадическими группами и с исключительной 24-мерной решёткой, известной как решётка Лича.
Группа автоморфизмов схемы S(5, 8, 24) является группой Матьё M₂₄ и в контексте схем обозначается W₂₄ («W» от «Witt»)
Построения
Существует много путей построения S(5,8,24). Здесь описано два метода: