|
Bolsmanning H-teoremasi
Biz statistik fizika kursi davomida entropiyaning o’sish qonuniyatini to’la-to’kis ko’rgan edik (entropiya va ehtimoliyati). Unda yopiq tizim holati o’zgarganda so’nggi holat entropiyasi doimo boshlang’ich holat entropiyasidan katta bo’lishi ko’rsatilgan edi.
Biroq u yerda boshlang’ich holatdan so’nggi holatga o’tish qanday sodir bo’lishini aniqlash mumkin emas edi. Tizim muvozanatsiz holatdan muvozanatli holatga o’tganda uning entropiyasi oshaborish teoremasini isbot qilish uchun Bolsmanning kinetik tenglamasidan foydalanamiz. Bolsman tomonidan isbot qilingan bu teorema H-teorema deb yuritiladi, chunki u entropiya o’rniga
(5.1)
kattaligini ishlatgan.
Oddiylik uchun bir atomli ideal gaz bir jinsli muhitda joylashgan bo’lsin va unga tashqi muhit ta’siri bo’lmasin ( ). Demak, taqsimot funksiyasi faqat zarralar tezligiga va vaqtga bog’liq bo’ladi
Qabul qilingan sharoitda bo’lgan tizim uchun Bolsmanning kinetik tenglamasi (3.5) o’rniga
ko’rinishga ega bo’ladi. Ushbu kinetik tenglama gazdan tashkil topgan yopiq tizim uchun, shunday makroskopik tavsif mavjudki, muvozanatsiz holatdan zarralarning o’zaro to’qnashuvlar natijasida tizim muvozanat holatga intilgan sari u monoton kamaya boradi degan xulosaga olib keladi. Bu fikrni isbotlamoq uchun
(5.2)
funksiyasini tekshiraylik. Bundan:
(5.3)
chunki
- bu V hajmli tizimda joylashgan gazni tashkil etuvchi barcha zarralar soni. Biz ko’rayotgan hol uchun Bolsmanning kinetik tenglamasi
Bu yerda: d - fazaviy burchak;
-sochilishning defferensial kesimi; .
U holda (5.3) quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(5.4)
(5.4) dagi integralli ifodani simmetriyalaymiz. Buning uchun uni 3 marotaba quyidagicha o’zgarishlar qilib ko’chiramiz:
Birinchi o’zgarish kiritilganda f↔f1 va bo’ladi, shuning uchun (5.4) - dagi integral ostidagi o’rtacha qavsdagi ifoda o’zgarmasdan qoladi; lnf→lnf1 bo’ladi; o’zgarmaydi, chunki va nihoyat ham o’zgarmaydi.
Ikkinchi o’zgarish kiritganimizda o’rtacha qavs ishorasini o’zgartiradi, , o’zgarmay saqlanadi, chunki va Liuvill teoremasiga muvofiq .
Birinchi ikkita o’zgartirishlar kombinasiyasidan tashkil topgan uchinchi o’zgartirishni kiritganimizda o’rtacha qavsli ifoda ishorasini o’zgartiradi; ; - o’zgarmasdan saqlanadi va bo’ladi.
Agar (5.4) - munosabatini yuqoridagi o’zgartirishlar kiritish natijasida hosil qilingan uchta munosabat bilan qo’shsak simmetriyalash natijasida quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(5.5)
Integral ostidagi o’rta va katta qavslar ko’paytmasi ko’rinishga ega. Bu ifodadagi lografmik funksiya monoton bo’lganligi uchun ko’paytma manfiy qiymatga ega bo’lishi mumkin emas, ya’ni:
.
Bu va bo’lgani uchun (6.5) - ga asosan
(5.6)
Bu kamayish dinamik emas, balki statistikdir. Bundagi tenglik ishoraga x=u, ya’ni:
(5.7)
aynan muvozanatlik sharti to’g’ri keladi. Bu holda gaz muvozanat holatda bo’ladi va unga to’g’ri keluvchi taqsimot funksiyasi bu Maksvell taqsimot funksiyasi bo’ladi, ya’ni:
Shunday qilib, agar gaz tezliklar bo’yicha muvozanatsiz holatda bo’lsa, undagi molekulalarning o’zaro to’qnashuvi natijasida H(t) funksiyasi katta ehtimoliyat bilan monoton ravishda kamaya boradi va nihoyat, tizim muvozanatli holatga kelganda H(t) o’zining eng kichik qiymatiga ega bo’ladi. Bundan (5.7)-tengligi bu gaz holatining statsionar bo’lishligi uchun yetarli va zaruriy sharti ekanligi kelib chiqadi.
Endi oldingi
(5.8)
funksiya bilan (5.2) ko’rinishdagi N - funksiyaning bir - biriga mos kelishini ko’rsataylik. Bunda biz μ - muhitdagi barcha yacheykalarni bir xil hajmga ega deb hisoblaymiz va zarralarni normallashtirish shartidan foydalanamiz:
(5.9)
(5.9) va (5.2) - lar bir - biriga muvofiq kelganligi ko’rinib turibdi.
Shunday qilib:
(5.10)
(S - gaz entropiyasi) ya’ni muvozanatsiz holatdagi gaz muvozanatli holatga intilganda uning entropiyasi katta ehtimoliyat bilan o’zining maksimal qiymatiga ega bo’lishga intiladi.
(5.10) ni termodinamika II qonunining isboti desa bo’ladi. Bolsmanning H teoremasi o’z vaqtida bir qator fiziklar tomonidan qarshilikka uchradi. Loshmidt (1976 yil) Bolsmanning N - teoremasiga qarshi o’zining qaytuvchanlik paradoksini qo’ydi. Uning teoremasi mexanikaning vaqtga nisbatan qaytuvchanli qonuniga qarama-qarshi ekanligini ko’rsatadi.
Tezlik bo’yicha muvozanatsiz holatda bo’lgan gazning yopiq tizimdagi harakatini tekshiraylik. Bu harakat G muhitda izoenergetik yuzada konfigurasiyali trayektoriya bilan ifodalanadi.
vaqtlarda tizim holati konfigurasiyali nuqtalar bilan ifodalanadi. Bu nuqtalarga tizimning ma’lum holatlari va o’z navbatida N-funksiyaning ma’lum qiymatlari to’g’ri keladi.
(5.6) N - teoremasiga asosan:
bo’ladi.
Савол берди: проф. Н.Б.Эшқобилов: Bolsmanning kinetik tenglamasi mohiyati nimalardan iborat?
Савол берди асс.М. Шоимов: Zarralarning elastik to’qnashuvi uchun erkin chopish uzunligi deb nimaga aytiladi?
Савол берди Phd Сайдуллаев У.Ж: Bolsmanning H – teoremasi nimani ifodalaydi?
Савол берди талаба Ҳакимов А: Muhitning berilgan nuqtasida molekulaning tezlikka ega bo’lish ehtimolligi nimani tushunasiz?
Do'stlaringiz bilan baham: | 
