|
5-rasm.Chegaraviy masalaning yechimi grafiklari.
18
5. Bir chetida fazaviy almashinishli ikki o’lchovli plastinkada issiqlik
o’tkazuvchanlik masalasi
Masalaning matematik qo‟yilishi quyidagicha:
Ikkala chetida adiabatik jarayon, bir chetida esa bug‟lanish jarayoni
kuzatilayotgan plastinkada issiqlik uzatilishi jarayonini sonli tahlil qilaylik.
Plastinkaning geometrik o‟lchamlari L = H = 0,3 m. Plastinka material AlF
3
bo‟lib, mexanik xarakteristikalari quyidagicha:
= 60 Vt/(m
K);
= 3070 kg/m
3
;
c = 1260 J/(kg
C) ; M = 0,084 kg/mol.
Uning yechimlar sohasi quyidagicha (6-rasm).
6-rasm.Yechimlar sohasi.
Bunga ko‟ra masalaning matematik qo‟yilishi quyidagicha yoziladi:
- issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasi
- boshlang‟ich shart
;
- chegaraviy shartlar
19
bu yerda
bug‟lanish tezligi;
– to‟yingan bug‟ bosimi.
Ushbu tuzilgan (5.1)-(5.2) masalani fazo va vaqt bo‟yicha teng o‟lchovli
to‟rbo‟yicha sonli yechamiz (7-rasm).
(5.1) differensial tenglamani chekli ayirmali tenglamaga o‟tkazish uchun
vaqt-fazo bo‟yicha quyidagicha koordinatali to‟r kiritamiz:
bu yerda h
x
, h
y
– mos x, y koordinatalar bo‟yicha to‟r qadamlari;
- vaqt bo‟icha
qadam; hisob sohasini to‟lasincha to‟r bilan to‟ldiramiz, ya‟ni
Izlanayotgan funksiya uchun
belgilash kiritamiz.
Dastlabki (5.1) differensial tenglamani diskretlashtirishni A.A.Samarskiyning
bir o‟lchovli lokal sxemasi asosida amalga oshiramiz, bunda bu sxema absolyit
ustivor va yig‟indi approksimatsiya xossasiga ega. Bu sxemaning mazmuni
20
shundan iboratki, vaqt bo‟yicha qadam ikki bosqichda amalga oshiriladi: vaqtning
oraliq qadamida (5.1) tenglamani faqat x o‟qi yo‟nalishida diskretlashtiramiz va bir
o‟lchovli tenglamaga kelamiz; undan keyin (5.1) tenglamani yana
diskretlashtiramiz, endi buni faqat y o‟qi yo‟nalhida bajaramiz va yana bir
o‟lchovli tenglamani hosil qilamiz, keyin esa vaqtning to‟la qadamida temperatura
maydonini aniqlaymiz.
7-rasm.Hisob sohasining ayirmali to‟ri.
Shunday qilib,
(5.3)
(5.4)
Bu oxirgi ikki ayirmali tenglama (3.3)-(3.4) standart uchdiagonalli holatga
keltiriladi va progonka usuli bilan yechiladi. Avvalo butun soha bo‟ylab (5.3)
21
tenglama yechiladi, keyin esa uning topilgan yechimlari asosida (5.3) tenglama
yechiladi.
(5.3) tenglamani progonka usuli bilan yechishni qarab chiqaylik. Buning
uchun bu tenglamani quyidagi ko‟rinishga keltiramiz:
Bu tenglamaning koeffisiyentlari A
i
, B
i
, C
i
lar quyidagicha topiladi:
Ushbu
progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun avvalo chap chegaraviy shardan α
1
va
β
1
larni aniqlaymiz. Bular asosida esa qolgan koeffisiyentlar topiladi:
Undan keyin
- o‟ng chegaraviy shartdan topiladi; vaqtning yarimqatlamida
- temperatura maydoni topiladi. Keyin (5.4) tenglamani yechishga o‟tiladi.
Bu tenglamani yechish ham xuddi (5.3) ni yechish kabi.
Chegaraviy shartlar approksimatsiyasi quyidagicha.
x=0 chegara uchun:
22
Shunday qilib, progonkaning boshlang‟ich hadlari:
O‟ng chegara uchun quyidagiga ega bo‟lamiz:
Bu yerdan
chunki
23
Bu tengliklardan ko‟rinib turibdiki, progonka koeffisiyenti β
1
chap chegaraviy
shartdagi temperaturadan bog‟liq.Shuning uchun temperature maydonini
aniqlashda, masalan, oddiy iteratsiya usulidan foydalanish maqsadga muvofiq. Bu
usulning tadbiqi g‟oyasiga ko‟ra vaqtning har bir qadamida iteratsiya hisoblashlari
shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi, bunda s – iteratsiya nomeri;
- hisoblash
aniqligi.
Nochiziqli
chegaraviy
shartni
approksimatsiyalash
jarayonini
qarab
chiqaylik.Faraz qilqylik, chegarada issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasi
bajarilsin. T( x) funksiyani x=0 nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyih orqali quyidagi
ifodaga kelamiz:
Buni endi berilgan bir o‟lchovli issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasiga qo‟llasak, u
holda quyidagilarga kelamiz:
Masalaning chegaraviy shartlaridan birinchisida esa
24
Oxirgi ikkita ifodalarni o‟zaro tenglashtirsak,
Shunday qilib, progonkaning dastlabki hadlari quyidagicha:
25
O‟ng chegaraviy sgartdan T
N
ni quyidagicha topamiz:
Shunday qilib, ushbu
tenglikdan quyidagilar kelib chiqadi:
26
x=L va y=0 chegaralarda ham hisoblashlar hosilalarni xuddi shunday
approksimatsiyalash orqali bajariladi, faqat bularda tenglikning o‟ng tarafi holga
tengligi e‟tiborga olinadi.
Hisoblashlarni quyidagi ma‟lumotlar uchun bajaramiz:
Beton plastinkaning geometrik o‟lchamlari L = H = 0,3 m. Plastinka material
AlF
3
bo‟lib, mexanik xarakteristikalari quyidagicha:
= 60 Vt/(m
K);
= 3070
kg/m
3
; c = 1260 J/(kg
C) ; M = 0,084 kg/mol, T
0
= 1273 K; A = 0,1; k
0
= 10
5
; q
= 10
4
Vt/m
2
; Q
bug‟
= 38000 J/kg; k=50 Vt/(m
2
·K); T
e
= 600 K.
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
