Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

1–misol.
u
t
+ 
au
x
= 0 tenglamaning oqimga qarshi ayirmasi quyidagicha:
(
u
i
n
+1

–
 u
i
n
)/∆
t
+ 
a
(
u
n
i

–
 u
n
i
–1
 
)/∆
x
= 0;
u
i
n
+1
= 
u
i
n
– 
σ
(
u
n
i

–
 u
n
i
–1
 
);
σ = a
∆
t
/∆
x
; 
û
k
n
+1
= 
û
k
n
– 
σ
(
û
n
k

–
 e
–ik∆x
 û
n
k
 
)

g
= 1 –
σ + σ
e
–ik∆x


gg
*
= 1 – 4
 σ
(1 –
 σ
)sin
2
(
k
∆
x
/2). 
Ustivorlik sharti – bu Kurant–Fridriks–Leva sharti:
σ = a 
∆
t
/∆
x
≤ 1. 
2–misol.
u
t
+ 
au
x
= 0 tenglamaning oqim bo‘ylab ayirmasi quyidagicha: 
(
u
i
n
+1

–
 u
i
n
)/∆
t
+ 
a
(
u
n
i
+1

–
 u
n
i
 
)/∆
x
= 0;
g
= 1 +
σ 
–
 σ
e
ik∆x

gg
*
= (1+
σ
)
2
+ 
σ
2
– 4
 σ
(1 +
 σ
)cos
2
(
k
∆
x
/2) > 1. 
Demak bu sxema doimo noustivor. 
3–misol.
u
t
+ 
au
x
= 0 tenglamaning markaziy ayirmasi quyidagicha: 
(
u
i
n
+1

–
 u
i
n
)/∆
t
+ 
a
(
u
n
i
+1

–
 u
n
i
–1
 
)/(2∆
x
) = 0;
g
= 1 – 
iσ 
sin(
k
∆
x
)

gg
*
= 1+ 
σ
2
sin
2
(
k
∆
x
) > 1. 
Demak bu sxema doimo noustivor. Bunga sabab qaralayotgan sxemaning mos 
emasligi. Agar uning o‘rniga Laks sxemani qarasak, u holda quyidagi ustivor 
sxemaga ega bo‘lamiz: 
u
i
n
+1
 =
0,5(
u
n
i+1
 
+
 u
n
i
–1
) – 
a
∆
t
(
u
n
i
+1

–
 u
n
i
–1
 
)/(2∆
x
); 
Sxemaga furye–modani qo‘ysak, 
g
= cos(
k
∆
x
) – 
iσ 
sin(
k
∆
x
)

gg
*
= 1– (1–
σ
2
)sin
2
(
k
∆
x
) ≤ 1 
Ustivorlik sharti (Kurant–Fridriks–Leva sharti): 
σ = a 
∆
t
/∆
x
≤ 1 yoki ∆
t 
≤ ∆
x
/
a
. 
Yaqinlashuvchanlik. 
Taqribiy yechim aniq yechimga yaqinlashadi, agar ∆
t
→0 
va 
n
∆
t
→
T
bo‘lganda ||
u
n 
–
 
u
e
n
||→0 bo‘lsa. 
Ekvivalentlik haqidagi Laks teoremasi.
Uni quyidagicha sxemalashtirish 
mumkin: 
Approksimatsiya + Ustivorlik = Yaqinlashuvchanlik
 
Boshqacha aytganda: 
||
u
n 
 
–
 
 
u
e
n
|| ≤ ||
Lu
n
–1
 
–
 Lu
e
n
–1
|| + ||
Lu
e
n
–1
 
–
 Lu
e
n
|| ≤ ||
u
n
–1
 
 
–
 
 
u
e
n
–1
|| + 
+ ∆
t
(Σ
p+q=l
∆
x 
p
 
∆
t 
q
) ≤ ||
u
0
 
 
–
 
 
u
e
0
|| + 
n
∆
t
(Σ
p+q=l
∆
x 
p
 
∆
t 
q
) 
Izlanayotgan yechimga ∆
t
→0 va 
n
∆
t
→
T
bo‘lganda erishiladi.
Laks teoremasi faqat chiziqli ayirmali sxemalar uchun o‘rinli. 

---

24 
Giperbolik tipdagi ushbu 
0






x
F
t
u
tenglama uchun
(bunda
F=F
(
u
),
 
masalan
 
F=vu
,
 

=a

t
/

x
; 
g
– o‘tish ko‘paytuvchishi): 

Birinchi tartibli aniqlikka ega oshkor usul
: 


n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
1
1
1
2








;
g
=1+
i

 
sin(
k

x
). 
Bu ayirmali sxema doimo noustivor. 

Laks usuli
: 




n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
u
1
1
1
1
1
2
2
1











;
g
=cos(
k

x
)+
i

 
sin(
k

x
). 
Bu ayirmali sxema

t

x
/

a

da ustivor. 

Lelevye usuli
: 


n
i
n
i
n
i
n
i
au
au
x
t
u
u
)
(
)
(
1
1







, agar 
0

n
i
a
;


n
i
n
i
n
i
n
i
au
au
x
t
u
u
1
1
)
(
)
(







, agar 
0

n
i
a
; 
g
=1–

+

cos(
k

x
)+
i

sin(
k

x
). Bu ayirmali sxema

t

x
/

a

da ustivor va uni 
faqat ko‘chirish tenglamasi uchun qo‘llash mumkin. 

Laks–Vendroffning ikki qadamli usuli
: 




n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
u
1
1
1
2
/
1
2
/
1
2
1











;


2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
1










n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
; 
g
=1–
i

 
sin(
k

x
)+

2
[cos(
k

x
)–1]. Bu ayirmali sxema

t

x
/

a

da ustivor. 

Laks–Vendroffning bir qadamli usuli
: 


n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
1
1
1
2














n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
C
F
F
C
x
t
1
2
/
1
1
2
/
1
2
2
2










, 
bu yerda 
C
– yakobian; 
C

=


u
F


va 


n
i
n
i
n
i
u
u
C
C




1
2
/
1
2
1
;
g
=1–
i

 
sin(
k

x
)+

2
[cos(
k

x
)–1]. Bu ayirmali sxema

t

x
/

a

da ustivor. 

«Sakrab qadamlash» usuli
: 


n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
u
u
1
1
1
1









;
g
=
i

 
sin(
k

x
)
)
(
sin
1
2
2
x
k




. 
Bu ayirmali sxema

t

x
/

a

da ustivor. 

Kvaziikkinchi tartibli aniqlikka ega usul
: 






1
1
1
1
1
1
1
2
)
5
,
0
(
2
5
,
1


















n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
F
F
x
t
F
F
x
t
u
u


. 
Bu ayirmali sxema 


0,5 da ustivor, agar 

 
>0,25

2
+0,5

4
, ya’ni aynan 

t

x
/

a

, 
agar 
4
4
4
2
2
2
2
4
x
a
t
x
a
t







.
 

---

25 
2-bob.
GIPERBOLIK TIPDAGI
BIR O’LCHOVLI KO’CHIRISH 
TENGLAMASINI NOTEKIS TO'R YORDAMIDA SONLI YECHISH 
 
2.1. Notekis to’r tushunchasi. 
To’rli sohani qurish. 
Faraz qilaylik, dastlabki soha 
D
={
T
t
l
x




0
,
0
}. Uni 
to’rli soha bilan approksimatsiyalaymiz: 
,
{
i
h
x
w
n
i
,
0

, 
,
1



i
i
i
x
x
h
,
1
1
i
i
i
x
x
h




2
1



i
i
i
h
h

- o’rtacha qadam}- 
x
bo’yicha to’r; 
,
{
j
t
w

0
,
0
j
j

, 
,
1



j
j
j
t
t

,
1
1
j
j
j







2
1



j
j
i



- o’rtacha qadam}- 
t
bo’yicha to’r. 
U holda bizga kerakli notekis to’r quyidagicha: 


w
w
w
h
h


. 
Ana shu to’rda 
x
bo’yicha birinchi tartibli differensial operatorlarni 
approksimatsiyalaymiz: 
1
1
~



i
i
i
h
y
y
dx
du
- 
x
bo’yicha o’ng ayirmali hosila; (2.1) 
i
y
- to’r funksiya; 
i
i
i
h
y
y
dx
du
1
~


- 
x
bo’yicha chap ayirmali hosila; (2.2) 
i
i
i
h
y
y
dx
du
2
~
1
1



- 
x
bo’yicha markaziy ayirmali hosila; (2.3) 
)
1
(
)
(
~
1
1







i
i
i
h
y
y
dx
du
i
i
i
h
y
y
1


- 

vaznli approksimatsiya; (2.4) 
Endi ana shu to’rda 
t
bo’yicha birinchi tartibli differensial operatorlarni 
approksimatsiyalaymiz: 
1
1
~



j
j
j
y
y
dt
du

- 
t
bo’yicha o’ng ayirmali hosila; (2.5) 
j
j
j
y
y
dt
du

1
~


- 
t
bo’yicha chap ayirmali hosila; (2.6)
 
j
j
j
y
y
dx
du

2
~
1
1



- 
t
bo’yicha markaziy ayirmali hosila; (2.7) 
Ana shu to’rda 
x
va 
t
bo’yicha ikkinchi tartibli differensial operatorlarni 
approksimatsiyalaymiz: 












i
i
i
i
i
i
i
h
y
y
h
y
y
dx
u
d
1
1
1
2
2
1
~

; (2.8)














i
j
j
j
j
j
j
y
y
y
y
dt
u
d



1
1
1
2
2
1
~
; (2.9) 
x
bo’yicha birinchi tartibli hosilalar approksimatsiyasining xatoligini 
ko’rsataylik. 

---

26 
Buning uchun yechimning xatolik funksiyasini quyidagicha kiritamiz 
.
i
i
i
u
y
z


Bundan 
i
i
i
u
z
y


va uni (2.1) ga qo’yamiz. 
Quyidagiga ega bo’lamiz: 
1
1



i
i
i
h
y
y
=
i
i
i
i
h
z
z





1
1
, 
1
1




i
i
i
i
h
u
u

Ushbu 
1

i
u
funksiyani Teylor formulasi bo’yicha qatorga yoyamiz: 
)
(
0
2
3
1
2
1
1
1










i
i
i
i
i
i
i
h
u
h
u
h
u
u
, 
va uni 
i

ga qo’yamiz. U holda 
1
3
1
2
1
1
)
(
0
2











i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
u
h
u
h
u
h
u

)
(
0
2
2
1
1







i
i
i
i
h
u
h
u
, (2.10) 
Bu yerdan birinchi tartibli approksimatsiyaga ega bo’lamiz 
)
(
0
1


i
i
h

.