S. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

x₁ - ay + b(x - y), 0 - y - x,

x2 - ay1 + b(x1 - y1), 0 - y1 - x1,

(3)

_^xN-1 ^{- ay}N-2 + ^b(xN-2 ^{- y}N-2 ⁾, ^{0 - y}N-2 ^{- x}N-2, ^{0 - y}N-1 ^{- x}N-1.

Bu holda umumiy (jami) maksimal daromad (2) y, y₁₅ y₂,..., y_N-1.. o’zgaruvchili funksiyaning N o’lchovli fazodagi (3) shartlarni qanoatlan-tiruvchi maksimumini topish bilan aniqlanadi.

Shunday qilib, N o’zgaruvchili funksiyaning biror sohadagi maksimumini topish masalasiga kelamiz. Ma’lumki, bunday masalalarni klassik usullar bilan yechib bo’lmaydi yoki katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bu masalani N bosqichli jarayonda optimallik prinsipini qo’llab yechish mumkin. Shuni ta’kidlaymizki, N bosqichli jarayonda daromadning maksimum qiymati N bosqichlarga va boshlang’ich x miqdorga bog’liq bo’ladi. Shuning uchun, maksimal daromad funksiyasi f_N(x) - maxW_N(x, y, y_1v.., y_N-1) ko’rinishda

ifodalash mumkin. Masala shartiga asosan, bir bosqichli masala uchun

^f1^{(x) - m}y<_x^[g⁽y⁾+^{h( x -} y ^)] (4)

funksional-ekstremal tenglamani hosil qilamiz. Ikki bosqichli masalani qaraganda, umumiy daromad.

^f2^{(x) -} dggxfe⁽ у ⁾ + ^{h( x -} у⁾ + ^f1 tay + ^{b( x -} у ^)]} (5)

formula bilan ifodalanadi.

Xuddi shunday, N bosqichli jarayon uchun

^fN^{(x) -} gy-Jg⁽ у⁾ + ^{h( x -} у ⁾ + ^fN-1 [ay+^{b( x -} У⁾]}

rekurrent formula kelib chiqadi, bu yerda N > 2. f₁(x) funksiya qiymatini (4) formula yordamida hisoblab, (5) ga asosan f₂( x) ni aniqlaymiz.

Funksional-ekstremal tenglamalar usulini qo’llash bilan N o’lchovli masalani ketma-ket yechiladigan N ta bir o’lchovli masalaga keltiriladi.

Shunday qilib, umumiy holda

^fN ^{(x) -} ₀^max_x^[gN ⁽У⁾ + ^fN-1 ^{(x -} yN ^)] (7)

funksional tenglamaga ega bo’lamiz, bunda f jarayonning maqsadi kriteriyasi daromad foyda va boshqalar); N - bosqichlar soni; x - N sistemaning holatini harakterlovchi o’zgaruvchi; f_M(x) - kriteriyaning natijaviy qiymati; у_м - boshqaruvchi o’zgaruvchi, uning tanlanishiga qarab kriteriyaning natijaviy qiymati o’zgaradi; g_M (y_M) kriteriyning N bosqichda у_м ning optimal

tanlanishiga qarab (0 < y_N < x) topilgan qiymati; f_N-t(x - y_N)- (N-1) bosqichdagi kriteriyning natijaviy qiymati.

N bosqichda y_N = y*_N optimal boshqarish tanlangan bo’lsin. (N-1) bosqichdagi holat ushbu tenglama bilan ifodalanadi:

^fn-i^{(x -} yN ⁾ = ^max JgN-i(Ум-i⁾ + ^fN-2 ^{(x -} yN ^- Ум-i⁾]. (8)

⁰< Ум-1< ^x- Ум

Endi bu funksional-ekstremal tenglamalar usuliga sonli misol qaraymiz.

Ma’lumki, resurslardan olinadigan umumiy (jami) daromad, mablag’ning boshlang’ich miqdori x va N bosqichlar soniga bog’liq. x mablag’ni u va x-u miqdorlarda taqsimlash natijasida k - yilda g_k(x, y) daromad olinib, r_k(x, y) mablag’ qoldig’i qoldi, deylik. Shunday boshqarishni tanlash zarurki, N - bosqichli jarayonda olinadigan umumiy daromad maksimum bo’lsin. g_k (x, y) va r_k(x, y) funksiyalar uzluksiz bo’lsin, bu yerda

x > 0,0 < y < x, 0 < r_k (x, y) < ax, a < 1, к = 1,2,.... f_N(x) - N bosqichli jarayonning umumiy daromadi. Bir bosqichli, ya’ni N=1 uchun

^fkl^{( x)} = jg^gk ^(x’ У ⁾

N>2 bo’lganda

^fkN^(x) = gyiJgk^(x> У^{) + f}k₊i, м-i [^rk⁽x У^)]} bo’ladi. k=N uchun ^fN ^(x) = ₀^max gN ^(x> У⁾ , (9)

va k = N-1, N-2, ..., 2, 1 uchun

^fk ^(x) = Jgk ^(x’ У^{) + f}k+1 ^[rk ^(x’ У^)]} . (10)

Misol. Ikkita I va II tarmoqlarni rivojlantirish uchun 5 yilga x mablag’ ajratilgan. U miqdordagi mablag’ni I tarmoqqa sarflasak, bir yilda (p(y) = y² daromad olish mumkin va uning miqdori ф(у) = 0,75y ga kamayadi. (x-u) miqdordagi mablag’ni II tarmoqqa sarflab, bir yilda %(х - у) = 2(х - у)² daromad olish mumkin va u p(х - у) = 0,3(х - у) ga kamayadi.

Ajratilgan mablag’ni rejalashtirilayotgan davrga tarmoqlararo shunday taqsimlash kerakki, olinadigan umumiy daromad maksimal bo’lsin.

Yechish. rejalashtiriladigan 5 yilni, 5 ta bosqichga ajratamiz, ya’ni N=5, K=1,2,3,4,5 bo’lsin.

Optimal yechimni aniqlashni 5 bosqichidan boshlaymiz, bu bosqich boshida x₄ qolgan mablag’ni taqsimlash kerak bo’ladi. Bunga mos u₅ ning optimal qiymatini topish kerak. (9) tenglamalar tarkibidagi ifodani tuzamiz:

g5 ^(X4^, У5⁾ = Р⁽У₅⁾ + £^(х4 ^- У5⁾ = У5² + ^(х4 ^- у₅⁾²;

y₅² + 2(x₄ - y₅ )² funksiyaning 0 < У 5 < x4 oraliqdagi maksimum qiymatini

2

topaylik. Zaruriy shartga asosan, 2y₅ - 4(x₄ - y₅) - 0 bundan y₅ - 3 x₄.

Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:

2

g5^(X4^,y₅^{) - 2} + ⁴ > ⁰; ^y5 ^- 3^x4

2 2

minimum nuqtasi bo’lib, g₅(х₄,^х₄) -— x4 . Funksiyaning [0, x₄] kesmaning

chetki nuqtalaridagi qiymatini hisoblaymiz:

У5 - 0 bo’lganda, g_s(X4, y_s) - 2x4 У5 ^{- 4} bo’lganda, g₅(^х4^, y₅^{) - X}4² ₂

2x² > xl>— x4 bo’lganligi uchun g₅(x₄, y₅) funksiya [0,x₄] kesmada u=0

bo’lganda eng katta qiymatga ega bo’lib, u₅=0 bo’lganda f₅(x₄) - 2x₄.

Shunday qilib, oxirgi bosqich boshidagi qolgan mablag’ni II tarmoqqa sarflansa, eng katta daromad olinadi.

(10) tenglamadan foydalanib 4, 3, 2, 1 bosqichlardagi mablag’larni ketma- ket taqsimlashning optimal qiymatini topiladi:

4-bosqich uchun

^f4 ^(x3 ^{) -} ogya-X {g4 ^(x3 , У4 ⁾ + ^f5 ^(x4^{)} -} max ^У + ^2(x3 ^- У4⁾ + ^2x4^2}

bo’lib, bunda x₃ 4-bosqich boshidagi qolgan mablag’, 4-bosqichda I tarmoq uchun u₄ mablag’ sarflansa, (x₃-u₄) II tarmoqqa sarflanadi, ya’ni X4 - 0,75У4 + 0,3(x3 - У4). x₄ ning x₃, u₄ orqali ifodasini tenglamaga qo’yib

^f4^(x3^{) -} ogya-x^ ^y + ^2(x3 ^- У4⁾² + ^2[0,75у 4 + ^0,3(X3 ^- xOP ^}

4-bosqich tenglamasi hosil bo’ladi. Qavs ichidagi ifodaning

^Z4 ^{- y}4 + ^2(x3 ^{- y}4⁾² + ^2[0,75у4 + ^0,3(х3 ^{- у}4^)]

[0, x₃] kesmadagi eng katta qiymatini hisoblaymiz:

^ - 2y₄ - 4(x₃ - У4) + 4[0,75у4 + 0,3(х₃ - y₄)](0,75 - 0,3);

дУ4

6,81y₄ - 3,46x₃ - 0, y₄ « 0,5x₃; d² Z,

₂ - 6,81 > 0; Z₄ (0,5x₃)«1,3x₃

Demak, u₄=0,5x₃ minmum nuqtasi bo’ladi. Z₄ funksiyaning [0,x₃] kesmaning chetki nuqtalaridagi qiymatini hisoblaymiz.

u₄=0 bo’lganda, Z₄ = 2,18x₃², u₄=x₃ bo’lganda, Z₄ = 2,125x₃²,

2,18x₃² > 2,125x² > 1,3x3 bo’lganligi uchun Z₄ funksiya [0,x₃] kesmada u₄=0 bo’lganda eng katta Z₄ = 2,18x₃² qiymatga ega bo’ladi. Shunday qilib, 4- bosqich boishda qolgan hamma mablag’ni II tarmoqqa sarflansa eng katta daromadga ega bo’ladi.

3-bosqich uchun funksional tenglamani yozamiz:

^f3^(x2⁾ = max {gз^(x2^, Уз⁾ + ^f4^(x3⁾}= max {уз² + ^2(x2 - Уз⁾ + ^2,18^x3²},