Russian Mathematics Education

3.2

Mathematics Circles and Electives

in Grades 7–9

In working with students from grades 7–9, less attention is devoted

to the “entertaining” side of things, naturally, than in working with

students from grades 5–6. The program of study becomes more

systematic. Nikolskaya’s manual (1991), published in Soviet times,

recommended the following program of study for elective courses in

these grades:

Grade 7

• Number systems

• Prime and composite numbers

• Geometric constructions

• Remarkable points in a triangle

Grade 8

• Number sets

• The coordinate method

• Elementary mathematical logic

• Geometric transformations of the plane

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

388

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Grade 9

• Functions and graphs

• Equations, inequalities, systems of equations and inequalities

• Remarkable theorems and facts of geometry

• The logical structure of geometry

In other words, such a program involves expanded study of the

existing school program (indeed, since the collapse of the Soviet Union,

with schools acquiring greater opportunities, such a program or one

similar to it has sometimes simply been added to the ordinary school

curriculum, with the classes that study this expanded curriculum being

labeled as classes with an advanced course in mathematics).

The manual by Gusev et al. (1984), published even earlier, sug-

gested a number of topics for extracurricular work in grades 7–9 (6–8 in

the system that existed at the time), which largely resembled the topics

found in mathematics Olympiads. Among them, for example, were

such sections as “Graphs,” “The Arithmetic of Remainders,” “How

to Play in Order Not to Lose,” and “Pigeonhole Principle.” For each

topic (which usually occupied several class sessions), the manual offered

problem sets and provided specific methodological recommendations,

such as suggesting various general theoretical facts that the teacher

could convey to the students in one way or another, or describing

various kinds of activities that the teacher might organize.

In fact, during those years as well as later, in school electives and

mathematics circle sessions, students usually solved problems of a

heightened level of difficulty. For the most part, these problems were

based on material from the ordinary school curriculum, but they could

also include problems that drew on traditional Olympiad-style topics.

For example, problems involving absolute value or problems that

required students to construct nonstandard graphs [for instance,

construct the graph of the equation y

+ |y| = x (Kostrikina, 1991,

p. 46)] have always been very popular. The same is true of problems

on solving equations and inequalities, as well as word problems based

on equations and inequalities. Also represented were identity trans-

formations, problems on progressions, and trigonometry. Kostrikina’s

(1991) problem book, cited above, contains problems of a heightened

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

Extracurricular Work in Mathematics

389

level of difficulty in practically all sections of the course in algebra.

Consider several more examples of problems from this text:

• Find a two-digit number that is four times greater than the sum

of its digits. (p. 43)

• What is greater,

10

10

+1

10

11

+1

or

10

11

+1

10

12

+1

? (p. 48)

• Simplify the expression