Russian Mathematics Education

x + 2

√

x − 1 +

x − 2

√

x − 1, if

1

≤ x ≤ 2. (p. 102)

• For what value of a is the sum of the squares of the roots of the

equation x

2

+ (a − 1)x − 2a = 0 equal to 9? (p. 108)

• Prove that the greatest value of the expression sin x +

√

2 cos x

is

equal to

√

3

. (p. 180)

The first two of these problems are recommended for grade 7, the

next two for grade 8, and the last one for grade 9. As can be seen,

these and similar problems placed rather high demands on students’

technical skills, but the reasoning skills required to solve them were

also quite high (of course, students were also given simpler problems

to solve in mathematics circles and electives — the examples above

were chosen to illustrate the types of problems offered).

There is a considerable amount of material in geometry for

school extracurricular work. The curriculum for grades 7–9 contains

a sufficiently complete and deductive exposition of Euclidean plane

geometry; this material may be used as a foundation for posing

problems that are quite varied in character. Indeed, school textbooks

themselves usually provide considerably more material than can be

studied and solved in class. Among the supplementary manuals, we

should mention the popular and frequently reprinted problem book

by Ziv (1995), intended for use in ordinary classes, but containing

more difficult problems recommended for mathematics circles. Again,

since lack of space prevents us from describing these problems in any

detail, we will confine ourselves to a single example:

A point D is selected inside a triangle ABC. Given that

m∠BCD + m∠BAD > m∠DAC,

prove that AC > DC . (Ziv, 1995, p. 59)

The solution of this problem, which is assigned to seventh graders,

is based on the fact that the longest side of a triangle lies opposite

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

390

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

the largest angle and on the properties of a triangle’s exterior angle.

However, to arrive at this solution, the students must possess a certain

perspicacity and, above all, a comparatively high level of reasoning skills.

Solving geometric problems as part of extracurricular work (and usually

in classes as well) practically always involves carrying out proofs of one

kind or another.

Evstafieva and Karp’s (2006) manual gives an idea of what kind

of typical Olympiad-style material might be studied in mathematics

circles. This collection of problems, intended mainly for working

with ordinary seventh graders in ordinary classes, contains a section

entitled “Material for a Mathematics Circle.” This section has five

parts:

• Divisibility and remainders

• Equations

• Pigeonhole principle

• Invariants

• Graphs

As can be seen, the topics are quite traditional for mathematics

circles of even higher levels (Fomin et al., 1996). But here the

assignments are limited to relatively easy problems, the number of

which, however, is relatively large and which are organized in such

a way that, after analyzing one problem, the students can solve several

others in an almost analogous fashion. For example, the following three

problems appear in a row:

• The numbers 1, 2, 3, 4, …, 2005 are written on the blackboard.

During each turn, a player can erase any two numbers x and

y and write down a new number x + y in their place. In the

end, one number is left on the board. Can this number be

12,957?

• The numbers 1, 2, 3, 4, …, 2005 are written on the blackboard.

During each turn, a player can erase any two numbers x and y

and write down a new number xy in their place. In the end, one

number is left on the board. Can this number be 18,976?

• The numbers 1, 2, 3, 4, …, 2005 are written on the blackboard.

During each turn, a player can erase any three numbers x, y, and

z, and write down two new numbers

2x

+y−x

3

and

x+2y+4z

3

in their

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

Extracurricular Work in Mathematics

391

place. In the end, two numbers are left on the board. Can these

numbers be 12,051 and 13,566? (p. 150)

A problem of the same type as the first of these problems (although

slightly more difficult) also appears in the aforementioned manual by

Fomin et al. (1996). The solution to the problem above is very simple:

the sum of the numbers on the board does not change after the given

operation, and consequently the number left on the board at the end

must be equal to the sum of all the numbers that were on the board

at the beginning, which is obviously not the case if the last number is

12,957 (note that the problem is posed in such a way that this answer

is obvious in the full sense of the word — it is not necessary to find

this sum). But in the problem book that is aimed at a more selective

audience, the very next “similar” problem is far more difficult, whereas

in the case above it is relatively easy for the students to determine what

remains invariant in the subsequent problems; they might be asked to

invent an analogous problem on their own, and so on. In other words,

the goal is not so much to solve increasingly difficult problems by using

a strategy that has been learned as to become familiar with this strategy

itself — in this instance, with the concept of invariants.

Thus, the topics studied in mathematics circles are often mixed,

including some amount of Olympiad-style problems and typical diffi-

cult school-style problems.