Russian Mathematics Education

5.3

On the Content of Certain Topics in the Course

The traditional, standard Russian school course in mathematics was

(and remains) more proof-laden than, say, the American course. For

example, in the course in geometry, practically all assertions were

proven. Nonetheless, even this course was made into a more in-depth

course not only by adding new sections but also by adding material

to traditional sections. The most important items added, as already

noted, were problems, and this was done in a way that often made

it fundamentally impossible to divide the material into problems and

theoretical content: a problem solved in class acquired the same rights

as a theorem from the textbook.

Over time, the course in calculus became particularly important in

schools with an advanced course of study in mathematics. Students

who graduated from such schools usually went through a complete

and proof-laden course in differential and integral calculus of one

variable, which included the theory of limits and continuous functions.

For example, the set of problems on the “Continuity of a Function”

assigned to 10th-grade students in a four-year track at school No. 30

to solve on their own over a comparatively long period of time (2–3

weeks) included the following classic problems:

• Check the following function for continuity on the interval

(0, 1):

f(x) =







0

if

x is irrational,

1

q

if

x =

p

q

.

• The function f is defined and continuous on the set of all real

numbers. It is known that for any real numbers

x and y, the

equality

f(x + y) = f(x) + f(y) holds. Prove that there is such a

number

a that f(x) = ax for any real x. (Karp, 1992, p. 76)

Quite often, the mathematical structure of the course followed that

of college textbooks — for example, the classic textbook by Fikhten-

golts (2001) — although, as we have noted, the pedagogical structure

usually differed considerably from the college system of lecture–

seminars. Sometimes, however, the course was structured completely

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

Schools with an Advanced Course in Mathematics and Humanities

295

differently. For example, Ionin (2005), a former teacher at the boarding

school associated with St. Petersburg University, emphasized in an

interview with us that it was considered very important at the boarding

school to structure the course mathematically differently from the way

it would be structured at the university, so that future students would

not have to do the same thing a second time. Therefore, fundamentally

new methodological–mathematical ideas arose. (For one example of a

somewhat unusual presentation, see Kirillov, 1973.)

Consequently, the widespread alternative of acceleration vs. enrich-

ment does not give an entirely accurate reflection of the possible choices

of material for study. Certain topics were indeed drawn from what may

be called college mathematics, i.e. one may indeed formally speak of

acceleration, yet these courses were often structured differently even

from a purely mathematical point of view. For one thing, they were

structured in a way that placed greater emphasis, at least initially, on

their connections with school mathematics. In addition, they were

often designed to use a relatively small amount of material in order

to present ideas which seemed important, but which in college courses

often appeared later (for example, courses in calculus in specialized

schools were often more “topological” than ordinary college courses).

Among the topics that had been partly borrowed from the college

program, calculus, as already noted, unquestionably occupied the most

important position. But students were also taught abstract algebra,

elementary number theory, the theory of polynomials, and certain

topics from college geometry.

Topics that were usually not taught in colleges, however, turned

out to be no less important. Sometimes, they came to specialized

schools from mathematics circles; and sometimes one might say that

they arose out of a careful exposition of the ordinary school course. For

example, the ordinary Russian school course provides for the study of

the concepts of the increase and decrease of a function or the range

of a function (see Chapter 5 of this volume). Nonetheless, in nine-

year schools, students usually “investigate” the properties of a function

based on its graph, which in turn is constructed point by point, and

there the matter ends. Meanwhile, much can be accomplished with a

precise and deductive approach, long before derivatives are introduced,

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

296