Russian Mathematics Education

Calculus

Grade 9

• Measuring segments, real numbers (8 hours)

• Numerical sequences and limits (26 hours)

• The general concept of a function, the limit of a function

(24 hours)

• The derivative and its applications (64 hours)

• Review (12 hours)

Grade 10

• The indefinite integral (20 hours)

• The definite integral (25 hours)

• Elementary differential equations (12 hours)

• Series (26 hours)

• Review (12 hours)

Geometry

Grade 9

• Vectors (14 hours)

• The coordinate method (40 hours)

• Metric relations in a triangle and solving triangles (20 hours)

• Geometric transformations (36 hours)

• Review (12 hours)

Grade 10

• Axioms of three-dimensional geometry and their corollaries (3

hours)

• Parallelism in space (14 hours)

• Perpendicularity in space (25 hours)

• The system of coordinates in space (12 hours)

• Polyhedra (24 hours)

• Review (6 hours)

Grade 11

• Solids of revolution (20 hours)

• Elementary mathematical logic, concluding remarks on the

course in mathematics (20 hours)

• Review of plane and three-dimensional geometry, problem solv-

ing (30 hours)

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

290

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

We noted above that this curriculum on the whole conveys an idea

of the curricula of the specialized schools when they first opened.

This does not mean, however, that all the details were identical in

every case, even in those years (and later on, changes were made to

the numbers of hours and much else). Kolmogorov et al. (1981), for

example, described the content of the geometry course taught at the

Kolmogorov boarding school during the third and fourth semesters of

a four-semester (two-year) course as follows:

Third semester. Axioms of affine and projective planes and their mod-

els. Pascal’s and Brianchon’s theorems. Straightedge constructions.

The Klein model of hyperbolic geometry.

Fourth semester. Area and volume. Formulas for the volumes of the

cylinder, the cone, the sphere and its parts. Simpson’s formula.

The Guldinus theorem. The area of a surface and the length of a

curve. Oriented areas and volumes. The vector product and its uses.

Measuring angles. Transformation of space. Euclidean space. (p. 17)

It is easy to see that this version of the course was more oriented

toward university geometry than the former version, which to a very

large degree coincided with what was taught in ordinary schools. We

could give examples of cases in which topics usually studied in courses

on abstract algebra were added to the program of schools with an

advanced course of study in mathematics (Karp, 1992), and other

examples will be given below. On the other hand, some of the topics

listed above (such as linear algebra) are often not included in such

courses. In general, as already noted, today, very different kinds of

courses can lurk behind the label “advanced course,” and naturally it

is not possible for us to describe all of them. Instead, we will try to

formulate certain principles, which may be considered common to all

or almost all such courses.

In our view, this was done successfully already by Shvartsburd

(1972). He wrote:

Traditionally, the expression “advanced preparation in mathemat-

ics for students” in general educational schools has been under-

stood to mean a heightened level of knowledge about elementary

mathematics: a fluent and robust ability to carry out identity

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch07

Schools with an Advanced Course in Mathematics and Humanities

291

transformations, to solve equations and typical word problems, to

compute the areas and volumes of figures…and so on. We give

the notion of “advanced preparation in mathematics” a somewhat

different pedagogical meaning. For us, it implies possessing certain

knowledge and skills that lie beyond the bounds of the mandatory

course, assimilating a number of new ideas and concepts, and grasping

traditional topics in a more scientific fashion. (p. 17)

In other words, the hallmark of an advanced preparation in math-

ematics is not simply getting a high grade on a test that is given to

everyone anyway, but knowing other topics as well, and perhaps most

importantly, knowing them in a different manner. Shvartsburd (1972)

went on to formulate the next (and, as he noted, the most important)

principle: the need to establish close connections between the content

of advanced preparation and the ordinary course in mathematics

(p. 34). He underscored the fruitfulness of an approach in which

“additional knowledge and skills are acquired by students in the context

of a unified general course in mathematics” (p. 35). Such an approach

naturally continues to stress fluency and robustness in the students’

knowledge of the elementary course, but it also implies a fundamental

enrichment of this knowledge, and not only as the result of an increase

in the quantity of what is studied, but also as the result of new ideas

introduced into the course in mathematics.