Russian Mathematics Education

Elements of Analysis in Russian Schools

211

positive number b with the base a as the unique solution of the equation

a

x

= b (the uniqueness of this solution was derived earlier from the

monotonicity of the exponential function). Properties of logarithms

are proven, after which the logarithmic function y = log

a

x is defined.

The properties of this function — its domain, range, monotonicity,

and signs — are derived from the algebraic properties of logarithms.

The injectivity of the logarithmic function is proven on the basis of its

monotonicity: if log

a

x

1

= log

a

x

2

, then x

1

= x

2

(a > 0, a = 1, x

1

> 0,

x

2

> 0). This fact is used as a foundation for solving logarithmic

equations. A graph of the logarithmic function is constructed on the

basis of properties that have been proven. Lastly, the assertion is made

that the exponential and logarithmic functions are inverse functions.

Typical problems pertaining to the topic “Logarithmic Functions”

include the following:

• Construct the graph of the function y = log

2

x; y = log

1

2

x;

• Find the domain of the function

y = log

4

(x − 1); y = log

3

(x

2

+ 2x).

Problems that are labeled as more difficult include the following:

• Prove that the function y = log

2

(x

2

− 1) is increasing over the

interval x > 1;

• Find the domain of the function y = log

π

(2

x

− 2);

• Construct the graph, and find the domain and range of the

following function: y = 1 + log

3

(x − 1). (Alimov et al., 2001,

p. 102)

Among the trigonometric chapters, only the chapter “Trigonomet-

ric Functions” is directly related to our subject; however, the chapters

devoted to formulas and equations provide the necessary preparatory

material for defining and investigating trigonometric functions. The

sine, cosine, and tangent of an arbitrary angle α, measured in radians,

are defined by means of the rotation of a point P(1, 0) on the unit circle

through α radians (the sine, cosine, and tangent of an acute angle have

already been defined in the course in geometry). This construction

is used to establish a correspondence between the points of the real

number line and the points of the unit circle. The sine and cosine of

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

212

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

an angle are defined as the y coordinate and x coordinate of a point

obtained by means of a rotation of the point P(1, 0) through angle α.

We should emphasize that students are given definitions of the sine and

cosine of an angle, not of a real number. Subsequently, however, they

are informed that in the expressions sin α and cos α, α can be regarded

as a number. Effectively, the sine of a real number x is defined as the sine

of an angle of x radians. Unfortunately, this important definition is not

made explicitly. In the exposition that follows, the sines and cosines of

angles and numbers appear indiscriminately mixed together. In solving

trigonometric equations, students are introduced to the arcsine and

arccosine of a number as the roots of the corresponding equations

on certain intervals. In addition to equations, certain inequalities are

solved; inequalities are solved with the help of the unit circle, effectively,

from the definitions of sines, cosines, and tangents. Note that, here, the

ordinary program includes sufficiently intricate equations [one example

from a level mandatory for all students: sin x·sin 5x−sin

2

x = 0 (Alimov

et al., 2001, p. 194)].

The chapter “Trigonometric Functions” contains definitions of

the functions y = sin x and y = cos x: to each real number there

corresponds a unique point on the circle; to the point there corresponds

an angle; and to the angle, a sine and a cosine. The tangent function is

defined as tan x =

sin x

cos x

. Students solve problems that involve finding

the domains and ranges of these functions.

The range of a function is determined by solving an equation with a

parameter. Indeed, the number a falls within the range of the function

y = f(x) if and only if the equation f(x) = a is solvable. The authors

of the textbook use this argument not only to indicate the ranges of

the basic functions y = sin x and y = cos x, but also to solve a rather

difficult problem about the range of the function y = 3 sin x + 4 cos x

(Alimov et al., 2001, p. 199).

The textbook gives definitions of such general properties of func-

tions as being even, odd, and periodic. Only following this are the

graphs of the functions y = cos x, y = sin x, and y = tan x constructed

and their properties enumerated. Inverse trigonometric functions are

introduced as optional material. These functions are presented as inverse

functions to trigonometric functions on corresponding intervals.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

213

In this way, in five years of schooling (grades 7–11), students

become acquainted with all of the basic elementary functions [as they

are called, for example, in the classic calculus textbook of Fikhtengolts

(2001)]. As we can see, for the authors of the textbook discussed here,

functions are secondary compared with the corresponding equations.

The well-developed apparatus of calculus, covered in 11th grade, is not

used in the study of elementary functions: these two parts of the course

are studied separately.

The textbook of Alimov et al. follows the classic Russian scheme:

so-called elementary mathematics comes first (even if it is necessary

to add to it just a little bit of the nonelementary — limits). As

already stated above, in the “Stalinist” schools of the 1930s–1950s,

derivatives were not studied. Their appearance effectively almost

coincided with Kolmogorov’s reforms (although the first textbooks

in which the elements of calculus appeared were published before

Kolmogorov’s).