Russian Mathematics Education

7

Conclusion

In arguing for the need to teach the elements of calculus in school,

educators usually refer to the fact that, first, it is desirable for students

to have some knowledge of calculus at the outset of their college

education, if only because without such student knowledge it is difficult

to teach other courses. Second, they argue that calculus is one of

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

226

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

mankind’s most important intellectual achievements, and it is desirable

that even those who will not go on to study mathematics in college

acquire some understanding of it. As already noted, arguments can

also be made against this position, relying on the experience of other

countries in which relatively few study calculus. No one, apparently,

denies the need to develop students’ ability to think in terms of

functions (which can be done even without calculus), but even here

quite different approaches are possible.

In Russia, calculus has been taught to students in the highest

grades, in one form or another, for almost a half-century. But while

the content of what students are taught has remained relatively stable,

the manner in which they should be taught remains a subject of debate.

Different opinions exist about the degree of rigor with which various

propositions must be proven, whether or not a formal definition of

limit is required, what quantity of geometric and physical applications

should be examined, and whether attention should be primarily focused

on theory or practice. We should note, however, that even the

most “proofless” and “recipe-like” textbooks still operate under the

assumption that proofs must be carried out (even if outside of school).

While focusing on an overview of textbooks, we should not lose

sight of the fact that actual education takes place in the classroom. A

teacher who has not understood the subtle arguments of a textbook’s

author which delight experts can do much harm to students. Convesely,

a highly qualified teacher can contribute to a “recipe-like” textbook,

using it only as a kind of reference manual for the students and as a

problem book. On the other hand, it is evident that teachers by and

large are trained by the textbooks which they use in teaching. Thus, if a

textbook straightforwardly states that there is no need to prove or even

to explain, then more than a few teachers will become accustomed to

this idea and even extend it, discovering that not only is there no need to

explain derivatives, but that there is no need to explain anything at all.

At present, schools are offered a wide variety of textbooks; formally,

they can choose from a long list. However, a textbook’s quality is not

always the determining factor in this selection. A great many other

circumstances can play a decisive role: the traditions of the school and

the district, habit, or even the fact that the school library already has a

large number of certain textbooks.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

227

Furthermore, practical considerations limit the use of technology

in the study of functions, which foreign readers have probably already

considered more than once while reading this chapter. In contrast to

what has happened in other countries, in Russia, the graphing calculator

has thus far not become an everyday instrument for every student. It

may be supposed that its appearance will usher in certain changes —

although, as we have seen, for example, the idea of presenting various

functions, and not just linear ones, to students at very early stages of

schooling can be implemented without calculators; and, conversely, the

presence of a calculator by no means guarantees that students will not

assume that all functions are necessarily linear.

In any event, in summing up, it may be said that Russian educators

have accumulated extensive experience with teaching calculus as part

of mass education, including techniques for presenting theoreti-

cal material and interesting problems. The teaching continues, and

experience — both positive and negative — continues to accumulate.