Russian Mathematics Education

t is called an independent variable and s is called a dependent variable

or function. The dependency of the variable s on the variable t is called

a functional dependency.

In this way, no explicit definition of functions is given at this stage.

The term “function” is not taken to mean dependency between two

variables: from the viewpoint of the authors of the textbook, this is

synonymous with the expression “dependent variable.” Subsequently,

three methods of defining functions are discussed: a function may

be defined by a formula, table, or graph. In connection with the

examination of the third method, the authors provide the definition

of a graph:

The graph of a function is defined as the set of all points in the

coordinate plane whose x coordinates are equal to the values of

the independent variable, and whose y coordinates are equal to the

corresponding values of the function.

The problems given in this section are aimed at developing the

following basic skills: finding the value of a function for a given value

of x, finding the values of x for which the function assumes a given

value of y, and finding several values of x for which the function is

positive (negative). The functions in the problems are defined both by

formulas and by graphs. The fact that y has a single value for any x,

while x does not have a single value for any y, is not discussed or even

mentioned.

Then, the textbook examines the linear function y = kx + b and

its graph. The fact that the graph of this function is a straight line is

accepted without proofs; the students are simply told that it can be

shown that it is a straight line (thus, at least the textbook expresses

the thought that this is something which must be shown). For linear

functions, the same typical problems that we mentioned earlier are

solved; to them is added the problem of “constructing a graph.”

Below, we reproduce review problems pertaining to this material,

which appear at the end of the section. Such problem sets (under

the heading “Test yourself!”) conclude each section in the textbooks

by Alimov et al. They enable the students themselves (as well as

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

203

their teachers) to test how well they have learned the basic “typical”

skills:

• Given the function y = 5x − 1, find y(0.2) and the value of x for

which the value of this function is equal to 89. Does the point

A(−11, 54) belong to the graph of this function?

• Construct the graph of the following function:

y = 2x; y = x − 2; y = 3; y = 3 − 4x. (Alimov et al., 1991a,

p. 145)

In the next chapter, “Systems of Linear Equations,” the textbook

examines three methods for solving such systems. Two of them are

purely algebraic (substitution and algebraic addition), while the third

method is graphic and uses the concept of a linear function and its

graph. The graphic method is used not only for solving linear systems,

but also for investigating (using geometric considerations) whether sys-

tems of two linear equations have solutions. The three possible ways in

which two straight lines may be positioned with respect to one another

in the plane — they can intersect, be parallel, or coincide — correspond

to three kinds of solution sets for systems of two linear equations: one

solution, no solutions, and an infinite number of solutions.

By comparison, the textbooks of Dorofeev, Suvorova et al. (2005,

2009a) are structured somewhat differently. Graphs appear before

functions. Students are introduced to the concept of the coordinates

of a point, and subsequently they are asked to construct various sets of

points in the coordinate plane. In particular, it is brought to their notice

that certain points in the coordinate plane lie on the same straight line;

the conclusion is then drawn that the equation which the coordinates

of the points satisfy may be said to define the straight line.

The problems offered in this textbook are somewhat more geo-

metric than the problems in the textbook discussed above. But the

text is by no means always aimed at eliciting from the students the

confident demonstration of some acquired skill; more precisely, a part

of the material is given not in order to develop any skill but to acquaint

the students with the subject and broaden their horizons. Thus, for

example, as early as seventh grade, students are introduced to the graph

of the relations y = x

2

and even y = x

3

(the methodology is the same

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

204