Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Nekrasov, and Yudina (1991, or later editions). Let us examine a single

eighth-grade class devoted to the rhombus:

At the beginning of the lesson, the class is asked to solve the following

two problems on the basis of drawings that have been made on the

blackboard beforehand:

1. Find the length of two congruent sides of an isosceles triangle

whose height is equal to 6 cm and whose vertex angle is equal to

120

◦

.

2. The diagonals of a parallelogram are mutually perpendicular. Prove

that all of its sides are congruent.

It is then suggested that the teacher formulate a definition of the

rhombus and ask the students themselves to define those properties

of the rhombus which derive from a definition of the rhombus as a

special type of parallelogram, and then to prove specific properties of

the rhombus on their own. The recommendations do not stipulate

who is to formulate these properties: this may depend on the class;

in one class, the students may do this independently, such as using

drawings, while in another class it may be done by the teacher.

Thereafter, it is suggested that the students begin solving problems,

and it is recommended that the following problems from the textbook

be used for this purpose:

• In a rhombus, one of the diagonals is congruent to a

side. Find the angles of the rhombus.

• Prove that a parallelogram is a rhombus if one of its

diagonals is an angle bisector.

At the conclusion of the lesson, it is recommended that the students

be asked to read on their own the paragraph about squares in the

textbook and then to answer the following questions orally, but

possibly making use of suggestive drawings prepared by the teacher

beforehand:

Is a quadrilateral a square if its diagonals are:

(a) congruent and mutually perpendicular?

(b) mutually perpendicular and have a common midpoint?

(c) congruent, mutually perpendicular, and have a common

midpoint?

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

On the Teaching of GeometryGeometry in Russia

91

As can be seen, all of the problems are quite traditional. At the same

time, it is impossible not to notice that the lesson presupposes active

and varied involvement by the students — who, on their own, carry

out proofs, construct arguments orally and in writing, and interpret and

analyze diagrams. Students are expected to possess a comparatively high

level of knowledge about the topics that have already been covered; in

order to solve the very first problem, students must know the properties

of an isosceles triangle and the relations in a right triangle with a 30

◦

angle. In general, the lesson is conducted as a sequence of problem-

solving activities that are connected with one another; for example,

solving the problems with which the lesson begins helps to solve the

problems that are posed later on, which, therefore, would not be as

difficult for the students.

The ability to construct lessons in which intensive reasoning and

investigative work will fall within the students’ powers is essential

for realizing those aims and objectives of the geometry course which

we have discussed above and which may be achieved only through

systematic and consistent work over many years. At the same time, the

stability of the contents of the course also helps teachers to accumulate

the necessary teaching experience.

Equally important is that over literally centuries of geometry

instruction, an exceptionally rich array of problems and educational and

developmental activities has been accumulated. An enormous number

of the problems analyzed by Polya (1973, 1981, 1954) were problems

in geometry. And this is no accident: to those who want to know “how

to solve it,” geometry offers special possibilities. Those who believe

that students transfer what they have learned — and that by learning

to solve problems in geometry students also learn something beyond

geometry — cannot afford to turn their backs on geometry. That is

why Russian educators do not give up traditional Euclidean geometry.