Российский экономический

Задача 5.5. 
Установить, является ли оптимальным базисное распределе-
ние поставок, найденное в задаче 5.3 (табл. 5.9).
 
Решение. 
Найдем, например, оценку свободной клетки (1,3). Для этого 
дадим в клетку (1,3) единичную поставку. При этом потребуется изменить по-
ставки в заполненных клетках так, чтобы сохранился баланс по строкам и 
столбцам. (Будем полагать, что во всех свободных клетках, отличных от клетки 
(1,3), поставка останется нулевой.)
 
Таблица 5.9 
Базисное распределение поставок 
20 
110 
40 
110 
60 
1 
2 
60 
5 
3 
120 
1 
20 
6 
5 
2 
100 
100 
6 
3 
50 
7 
40 
4 
10 
Таблица 5.10 
Оптимальное распределение поставок 
20 
110 
40 
110 
60 
1 
2 
59 
5 
1 
3 
120 
1 
20 
6 
5 
2 
100 
100 
6 
3 
51 
7 
39 
4 
10 
Так, чтобы 3-й потребитель получил по-прежнему 40 единиц груза, по-
ставку в клетке (3,3) следует уменьшить на 1. Для того чтобы 3-й поставщик 
отправил по-прежнему 100 единиц груза, поставку в клетке увеличиваем на 1. 
Второму потребителю нужно только 110 единиц груза, поэтому поставку в 
клетке (1,2) придется уменьшить на 1. Существенно, что найденный вариант 
перераспределения поставок, затрагивающий заполненные клетки и увеличи-
вающий на 1 поставку клетки (1,3), единственный. Полученное распределение 
поставок представлено в табл. 5.10. 
Найдем изменение 
∆𝐹
суммарных затрат при указанном перераспределе-
нии поставок. 
99

---

Первоначально затраты на перевозку (см. табл. 5.9) составили: 
𝐹
𝐻
= 2 × 60 + 1 × 20 + 5 × 0 + 3 × 50 + 7 × 40 + 2 × 100 + 4 × 10
, 
после перераспределения (см. табл. 5.10): 
𝐹
п
= 2 × 59 + 1 × 20 + 5 × 1 + 3 × 51 + 7 × 39 + 2 × 100 + 4 × 10
. 
Тогда, учитывая экономический смысл оценки свободной клетки, получа-
ем, что: 
β
13
= ∆𝐹 = 𝐹
п
− 𝐹
𝐻
= 2(−1) + 5 × 1 + 3 × 1 + 7(−1) = −1
. 
Так как среди клеток табл. 5.9 есть клетка с отрицательной оценкой, то 
распределение поставок не оптимально. 
Способ решения задачи 5.5 довольно громоздок (особенно учитывая, что 
часто в задачах приходится искать оценки всех свободных клеток заданного ба-
зисного распределения поставок). Проанализируем решение задачи 5.5 для 
упрощения вычислений. 
При вычислении 
∆𝐹
многие слагаемые из 
𝐹
п
и 
𝐹
𝐻
взаимно уничтожаются, 
не влияя на значение 
∆𝐹
: существенны лишь коэффициенты затрат тех клеток, 
в которых поставка при рассматриваемом перераспределении изменится. При 
этом в выражение для 
∆𝐹
некоторые из них входят со знаком «+», а некото-
рые — со знаком «–». Для нахождения «правила знаков» удобен чертеж, пред-
ставленный на рис. 5.1. На нем изображены клетки, в которых будет изменена 
поставка (слева от каждой клетки написан в скобках ее номер; клетки, соответ-
ствующие базисным переменным, перечеркнуты).