RosanovaPrakt indd

Ключевые формулы
151
потребителя) приносит потребителю одинаковую полезность независимо от того, на какой товар она расходуется.
Решая задачу максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении, получают Маршаллианские функции спроса, после подставления которых в исходную функцию полезности можно вывести косвенную функцию полезности — оптимальное значение полезности при любых произвольных объемах покупок.
Наиболее важные косвенные функции полезности в мире двух товаров следующие.
Для стандартных предпочтений вида U = Х^а - У¹³:
V =
JU+ Р
Р“ рр
^rX ^rY
а
ча+р
1а + Р )
Для совершенных субститутов: V = а ■



Для взаимодополняемых товаров: V
ар I
а • P_Y + р • Р_х
Для квазилинейных предпочтений: V = 1 —.
P_Y а ■ Р_х
Двойственная задача к нахождению максимальной полезности при заданном бюджетном ограничении заключается в поиске минимальных расходов потребителя для достижения заданного уровня полезности (благосостояния).
Для аналитического решения задачи минимизации расходов при заданном уровне полезности также используют метод Лагранжа.
Пусть для определенности предпочтения потребителя представлены функцией Кобба — Дугласа:
U(X,Y) = X^aYV.
Нужно решить задачу минимизации C=P_xX+P_yYпри U-X^aY$ = 0.
Составляем функцию Лагранжа: L = Р_хХ + P_yY- 1 (U- Х“УР).
Перед X стоит знак минус, так какрасходы минимизируют.
Найдем частные производные и приравняем их к нулю (условие оптимальности первого порядка):
ЭI ЭХ 9L д Y дL дХ