RosanovaPrakt indd

162
Глава 5. Выбор потребителя в условиях определенности
В соответствии с функцией полезности можно записать следующую совокупность:
\2х < 3у,
{[/ = 2х;
\2х > 3у,
\и=3у.
Она означает, что полезность будет численно равна меньшей по значению функции:
Г 2
у > —х,
3
U
х = —;
2
2
у < —х,
3
и
Ответ на вопрос 2.
Оптимальный набор будет соответствовать всем точкам, где 2х = 3у, так как в данном виде предпочтений товары Хи Yпотребляются в строгих пропорциях.
Составим бюджетное ограничение:
1= Р_х ■ х + Р_у ■ у = 300 = 6х+ 2у.
Выразив у и подставив значения дохода и цен, получим:
БО: у = -3х+ 150.
Наиболее выгодное потребление, когда бюджетная линия является касательной к одной из линий безразличия, так как имеем линии безразличия взаимодополняющих товаров, то все точки касания будут лежать на границе полуплоскости

Какое количество товара приобретет потребитель, можно найти из пересечения следующих двух прямых:
БО: у = -3х+ 150;
б = -^-б — место положения всех точек касания бюджетного ограничения и линий безразличия.
Решаем уравнение, получаем:
2х = -9х + 450;
Типовые задания с решениями
163
Итак, исходный оптимальный набор:
х = 40, 91; у = 27, 27.
Ответ на вопрос 3.
Для ответа на этот вопрос подставим найденный оптимальный набор в исходную функцию полезности:
— = х = 40,9,
. ² -> [7 = 81,8.
— = у = 27,27;
[з
Чуть больше 80 утилей — такова полезность оптимального набора потребителя.
Ответ на вопрос 4.
а) если X является дискретным товаром то сопоставляется полезность в двух точкахлежащих на бюджетной линии 6х + 2у = 300 с целыми координатами X и наиболее близких к оптимальной точке (40,91; 27,27). В данном случае Х= 40, У= 30 и X = 41, У = 27.
[7(40, 30) = 80; [7(41, 27) = 81.
Очевидно, что оптимальным будет вариант при Х= 41, У= 27, так как здесь полезность выше, хотя и ниже, чем при недискретном варианте.
б) если У является дискретным товаром то сопоставляется полезность в двух точках лежащих на бюджетной линии 6х + 2у = 300 с целыми координатами У и наиболее близких к оптимальной точке (40,91; 27,27). В данном случае Х= 41 У =27 и Х= 40,67, У =28.
[7(41; 28)=81; [7(40,67; 28)=81,34.
Оптимальным будет вариант при X = 40,67, У = 28.
в) если и X, и У являются дискретными товарами, сопоставляются точки, которые лежат на бюджетной линии 6х+2у = 300, с целыми координатами X и У и наиболее близкие к оптимальной точке (40,91; 27,27). В данном случае X = 40, У = 30 и Х= 41, У = 27. Полезность аналогична полезности найденной выше в пункте а) это вариант Х= 41,У= 27.
Вариант (в) не отличается от варианта (а) по той причине, что у нас — взаимодополняемые товары, потребление которых возможно только в определенной пропорции.
Ответ на вопрос 5.
В данном примере предельную полезность дохода удобнее считать через косвенную функцию полезности, которая выведена ниже.
Косвенная функция полезности равна: 11= а ■ b ■ 1/(Ь ■ Р_х+а ■ Р_у).
Найдем частную производную косвенной функции полезности по доходу:
U' = а - b/(b ■ Р_х+а- Р_у) = 2 • 3(3 • 6 + 2 • 2) = 6/22.
Это и есть предельная полезность денег.
Ответ на вопрос 6.
Благосостояние потребителя выше, если объемы покупок изменяются непрерывно