Rimanning dzeta funksiyasining asosiy xossalari

RIMANNING DZETA FUNKSIYASINING ASOSIY XOSSALARI.
1. Rimanning dzeta funksiyasining ta’rifi va asosiy xossalari. Riman (Georg Fridrix Berngard Riman (1826-1866)-nemis matematigi) o‘zining 1860 yilda yozgan mashhur memuarida (Bu memuar Rimanning sonlar nazariyasi sohasidagi yagona ishi hisoblanadi) tub sonlar taqsimotini chuqur o‘rganish uchun funksiyani kompleks o‘zgaruvchi ning funksiyasi sifatida o‘rganish zarur ekanligini uqtirib o‘tgan edi. Ma’lumki [5,6], Rimanning dzeta funksiyasi bo‘lganda

tenglik bilan aniqlanadi. Uning haqiqiy o‘qdagi nollariga trivial nollari deyiladi. Qolgan barcha nollari esatrivial bo‘lmagan nollari debyuritiladi.
Rimanning isbotlagan ikki asosiy Natijasi quyidagidan iborat:
а) funksiyani Butun kompleks tekislikga analitik davom ettirish mumkin;
б) ushBu funksional tenglama

ni qanoatlantiradi. Bu yerda Eylerning gamma funksiyasi.
Bu funksional tenglama ning dagi xossalaridan dagi xossalarini keltirib chiqarish imkoniyatini beradi.
Bu ta’rifdan ning yarim tekislikda analitik ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, (1) dan

ekanligi kelib chiqadi. (2) ning o‘ng tomonidagi qator da yaqinlashuvchi, shuning uchun ham (1)-qator da absolyut yaqinlashuvchi, da esatekis yaqinlashuvchi va shuning uchun ham tekis yaqinlashuvchi qatorning yig‘indisi sifatida analitik funksiyani ifodalaydi. Bizning keyingi tekshirishlarimizda quyidagi Lemma kerak bo’ladi.
1-Lemma. (Eyler ayniyati). bo‘lganda ushBu

ayniyat o‘rinli.
Isboti. Natural sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratishning yagonaligi va da qator

ning absolyut yaqinlashuvchiligidan Butun soni uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu yerda

(3) da da limitga o‘tsak

tenglikga ega bo’lamiz.
Bu Lemmadan quyidagi Natija kelib chiqadi.
Natija. Agar bo’lsa, U holda bo’ladi.
Haqiqatan ham, agar bo’lsa, U holda


Bundan

va da kelib chiqadi.
Endi funksiyani yarim tekislikka davom ettiramiz. Buning uchun bizga quyidagi Eyler-Makloren formulasi kerak bo’ladi:
“agar funksiya kesmadagi uzluksiz, differensiallanuvchi funksiya bo’lsa, ushBu tenglik o‘rinli

Bunda esa ning kasr qismini bildiradi” (Bu formulaning Isboti [5] ning 1-bobida keltirilgan ((2) -formulaga qarang)).