Rimanning dzeta funksiyasining asosiy xossalari

1-Natija. Agar haqiqiy son bo‘lib

bo’lsa, U holda

bo’ladi.
2-Natija. Agar bo’lsa, U holda

bo’ladi.
Endi biz ning funksional tenglamasini isbotlashimiz mumkin.
1-Teorema. (Dzeta funksiyaning funksional tenglamasi). Quyidagi tenglik o‘rinli

Isboti. ning integral ko‘rinishidagi ifodasiga ko’ra, , bo‘lganda

bo’ladi. Bundan ixtiyoriy natural soni uchun

ya’ni

Demak,
(8)
Bu yerda yig‘ish va integrallash tartibini o‘zgartirish mumkin, chunki da
.
va bo’lsa, U holda

Endi agar

debbelgilab olsak, 3-Lemmaning 2-Natijasiga ko’ra

bo’ladi. Shuning uchun ham (8) o‘ng tomonidagi integralni quyidagicha yozish mumkin:
(9)
da bo‘lgani uchun (9) dan (8) uning o‘ng tomonining bo‘lganda analitik funksiyani ifodalashi kelib chiqadi. Shuningdek у ni bilan almashtirsak o‘zgarmaydi, ya’ni

Natija. UshBu

funksiya Butun funksiya bo‘lib

tenglamani qanoatlantiradi.