Respublikasi xalq ta`limi vazirligi navoiy davlat pedagogika instituti

misol. x⁶-3x³+2=0 tenglama yechilsin.



Yechish: y=x³ deb belgilab y²-3y+2=0 yordamchi tenglama topa-miz, uning ildizlari y₁=1, y₂=2.
Natijada x³=1 va x³=2 tenglamalarga ega bo`lamiz. Bular (x- -

1)(x²+x+1)=0 va x - ³ 2 x²  ³ 2x  ³ 4 0
tenglamalarga teng kuchlidir.

Birinchisidan, x₁=1,
_{x } 1  i
2 ₂
³ , x
_ 1  i
2
³ ni, ikkinchisidan
x  ³ 2,

4

3
_{x } 1  i 3 _,
5 _{3 4}
^{x6 } ni hosil qilamiz.

2. 
   misol. 3x⁴+26x²-9 bikvadrat uchhad ko`paytuvchilarga ajratilsin.
   

Yechish: 3x⁴+26x²-9=0 tenglamani yechamiz:
_{x 2 } 13  14
3
va x ²  ¹
3


dan

x₁ 
, x₂   ,
x²=-9 dan x₃=3i, x₄=-3i ni topamiz va

3x ⁴

 26x ²

 9  3 x 
1 ^
 x 
^{1 x  3ix  3i}ni hosil qilamiz, yoki


3x⁴

 26x²

 9 


 ³  ³ 

  3x 1
3x 1x  3ix  3i
hosil bo`ladi (kompleks sonlar to`plamida), haqiqiy

sonlar to`plamida esa 3x<sup>4</sup>  26x<sup>2</sup>  9  
3x 1
3x 1x<sup>2</sup>  9 bo`ladi.

2. 
   §. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish
   

Kompleks sonlar maydoni ustidagi ushbu
ax³+bx²+cx+d=0, (a0) (1) ko‘rinishdagi tenglama uchinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi. ⁷

1. 
   tenglamaning har ikkala tomonini a ga bo‘lib, ushbu tenglamaga ega bo‘lamiz:
   

x³  ^b x²  ^c x  ^d

 0 . (2)

a a a

2. 
   da x  y  ^b
   

3a

almashtirishni kiritib

 ^b  3 ^b  ^b  2 ^c 
^b  ^d

^{ y } 3a ^{ } a ^{ y } 3a ^
 _{a } y  _{3a }  _a  0

3. 
   

tenglamani hosil qilamiz. (3) tenglamani soddalashtirgandan keyin

y³ +py +q=0 (4)
ko‘rinishdagi tenglamaga ega bo‘lamiz. (4)tenglamadagi y o‘zgaruvchi o‘rniga ikkita u va v o‘zgaruvchilarni y=u+v tenglik yordamida kiritamiz. Natijada (u+v)³ +p(u+v) + q=0 yoki
u³ + v³ + q + (3uv + p)(u + v) = 0 (5) tenglamaga ega bo‘lamiz. (5) da u va v larni shunday tanlaymizki, natijada
3uv + p = 0 (6)
shart bajarilsin. Bunday talab qo‘yishimiz o‘rinli, chunki
^{u  v  y}

^uv   ^p
^ 3
tenglamalar sistemasi y berilganda yagona yechimga ega.

5. 
   dan
   

u³+v³=- q . (7)

5. 
   dan u³v³=- p³ / 27 bo‘lgani uchun u va v lar Viet teoremasiga asosan biror z²+qz-p³/27=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. Bu tenglamani yechib
   

7. 
   Nazarov R.N,Toshpo‘latov B.T,Do‘simbetov A.D: ―Algebra va sonlar nazariyasi‖ 2-qism, Toshkent ―O‘qituvchi‖ -1995. 229-235-betlar.
   

z = u³=  ^q 
, z  v³   ^q 
(8)

1 ₂
ni hosil qilamiz. (8) dan


u=


2 ₂
^, v= ^,

lar topilib, u va v ning har biriga 3ta qiymat, y o‘zgaruvchi uchun esa to‘qqizta qiymat topiladi. Ulardan (6)shartni qanoatlantiruvchilarini olamiz. U holda
(4) tenglamaning barcha yechimlari topiladi.
Agar u, u , u ² (bunda  soni 1 dan chiqarilgan uchinchi darajali ildizlardan biri, ya‘ni ³ =1) lar z₁ ning uchinchi darajali ildizlarining qiymatlari bo‘lsa unga mos z₂ ning uchinchi darajali ildizlari qiymatlari v, v², v dan iborat bo‘ladi.
Natijada (4) tenglama ushbu
y₁= u+v, y₂= u +v ², y₃= u ² +v (9)

ildizlarga ega bo‘lib, unda    ¹  i ³
2 2
bo‘lganligidan

y₁=u+v, y₂=  ¹ (u  v)  i
2
³ (u  v),
2
y   ¹ (u  v)  i
3 ₂
³ (u  v) 2
(10)

yechim hosil bo‘ladi. (10) va x  y  ^b
3a

ni e‘tiborga olib (1)tenglamaning

x  y  ^b , x
 y  ^b
, x  y  ^b

1 1 _3a
ildizlari topiladi.
2 2 _3a
3 3 _3a

Haqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglamalarni tekshirish. Endi haqiqiy koeffitsiyentli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik. Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning haqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi.
Teorema. Agar
x³+px+q=0 (11)
tenglama haqiqiy koeffistientli tenglama bo‘lib,
  ^q2  ^p3
4 27
bo‘lsa, u holda quyidagi mulohazalar o‘rinli bo‘ladi:

1. 
   agar >0 bo‘lsa, (11) tenglama bitta haqiqiy va ikkita o‘zaro qo‘shma mavhum ildizlarga ega;
   
2. 
   =0 bo‘lsa, (11) ning barcha ildizlari haqiqiy va kamida bittasi karrali;
   

s)agar <0 bo‘lsa (11) tenglamaning ildizlari haqiqiy va turlicha bo‘ladi.
Isboti. a) >0 bo‘lsa, u holda z₁ va z₂ ildizlar haqiqiy va har xil bo‘ladi.
Demak, ildizlardan kamida bittasi, masalan z₁ noldan farqli bo‘ladi.
u  soni z₁ ning arifmetik ildizi bo‘lsin. Shuning uchun u haqiqiy son
bo‘ladi. uv= - p/3 tenglikka asosan v ham haqiqiy son bo‘ladi. z₁ z₂ bo‘lganligi sababli u³  v³ bo‘ladi, bunda u  v munosabatning o‘rinli ekanligi ravshan. (10)ga asosan

^{x  u  v, x   1 (u  v)  i 3} ^{u  v}^{,
x   1 (u  v)  i 3} ^{u  v}
(12)

1 2 _{2 2}
³ 2 2

bo‘lib, u va v lar haqiqiy hamda turli sonlar bo‘lganligi uchun (12) da x₁ haqiqiy,

x₂ va x₃ lar o‘zaro qo‘shma mavhum sonlar bo‘ladi.

2. 
   =0 bo‘lsin. Agar =0 va q0 bo‘lsa, u holda z₁=z₂ =- q/2 0 bo‘ladi.
   

u  son -q/2 ning arifmetik ildizi bo‘lsin. uv=-p/3 haqiqiy son bo‘lgani

uchun v 

x₁=2u0,
- haqiqiy son bo‘ladi, ya‘ni u=v 0 bo‘ladi. (12) formulaga asosan


x₂=x₃=-u bo‘ladi. Shunday qilib q0 bo‘lganda (11)tenglama uchta

haqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo‘ladi.
Agar =0 va q=0 bo‘lsa, u holda p=0 bo‘ladi. Bu holda (11) tenglama
x³=0 ko‘rinishda bo‘lib, x₁=x₂=x₃=0 bo‘ladi.

2. 
   <0 bo‘lsin. U holda z₁
   

  ^q 
2

 , z₂

  ^q 
2

bo‘ladi. Demak, z₁ , z₂ son-

lari o‘zaro qo‘shma mavhum sonlar ekan. Shuning uchun ham
z₁ =z₂   (13)
va z₁  z₂ (14) munosabat o‘rinli. (6) va (8) ga ko‘ra

u³= z , v³= z , uv=
(15)

1 2

bo‘lgani uchun (13) va (15) dan u³  v³   bo‘lib, bundan

u= v  (16)
kelib chiqadi. (14) ga asosan u  v munosabat ham o‘rinlidir. (6)ga ko‘ra

uv=
bo‘lib, bundan uv=

kelib chiqadi. Shartga asosan p<0. (16)ga

ko‘ra




^{| |}


(17)

tenglik bajariladi. (15) va (17) larga asosan

v= ^{ p}
p
^{= -} 3uu

 u  

p
3u ^{2
u  u} , ya‘ni

v  u
(18)

tenglik o‘rinlidir. (12)formuladagi v ni u bilan almashtirsak va u  v ni e‘tiborga olsak, x₁, x₂, x₃ ildizlar haqiqiy va har xil ekanligi ma‘lum bo‘ladi. Haqiqatan ham
(12) formuladan x₂ x₃ kelib chiqadi.Faraz qilaylik, x₁= x₂ bo‘lsin. U holda (9) ga asosan u+v = u+v ² bo‘lib bundan u(1-)=v( ²-1) yoki u = v ² kelib chiqadi. Bundan z₁=z₂ va =0 tengliklar kelib chiqadi.Bu esa <0 shartga qarama-qarshidir.Xuddi shuningdek x₁ x₃ ekanligini ko‘rsatish mumkin.

2.