Respublikasi oliy va

Yechish. х=3t desak,

x  

da t   va

 ³ x

 ¹3t

 ¹t 

¹t 

¹t

^lim ^1

x _

 ^{ lim} ^1 

t

x
_ t _{ }

^{ lim} ^1

t _

 ^1

t
 

 ^1  ^

t

t
  

 ¹t  ¹t

 ¹t

^{ lim} ^{1 }  ^lim ^{1 }

 ^lim ^{1 }  ^{ e  e  e  e3}

bo’ladi.

t  _{ t } t  <sub>

t </sub> t  _{ t }

 ^{x  4} x2  ^{x 1 3} x11

_{ 3 }( x1)1

16. misol.

^lim   ^{ lim} 

 ^{ lim} ^1  ^



3



1
x _{ x 1 }

x _

x 1 _

x _

x 1_



 lim ^1 

y  <sub>

</sub>y 1


3


y _



 lim ^1 

y  _

y 


3
^  lim ^1 

_{y } y  _
^  e³ 1  e³. y _

Ikkinchi ajoyib limit

1^ ko’rinishdagi aniqmaslik ekanini ta‘kidlab o’tamiz.

Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash

   (x) va

   (x)

funksiya

x  a

(yoki

x  ) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin.

Bu funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham cheksiz kichik funksiya bo’lishini ko’rdik. Ularning nisbati, ya‘ni bo’linmasi haqida gapirilmagan edi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi.

1. 
   ta„rif. Agar
   

lim ^  0



(yoki

lim ^



  ) bo’lsa,  funksiya  funksiyaga nisbatan

yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi.

Masalan

x  0

da   sin ² x funksiya

  x funksiyaga nisbatan yuqori tartibli cheksiz

kichik funksiya, chunki

lim sin²

x0

x  0 , lim x  0 va

x0
lim

x0

sin² x x

 lim

x0

sin x x

lim sin x  1 0  0.

x0

2. 
   ta„rif. Agar
   

funksiyalar deyiladi.

lim ^



 A  0

bo’lsa,  va  funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik

Masalan

x  0

da   sin 3x

va   x

funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik

funksiyalardir, chunki
lim sin 3x  0 , lim x  0 va

lim ^{sin 3x}  3  0.

x0

x0

x0 _x

3. 
   ta„rif. Agar
   

lim ^



 1 bo’lsa,  va  cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi

va  ~  yoki   

kabi yoziladi.

Masalan, x  0 da sinx~x, chunki lim ^{sin x}  1 va x  0 da tgx~x, chunki lim ^{tg x}  1.

x0 _x x0 _x

Amaliyotda qo’yidagi teoremadan ko’p foydalaniladi.

Teorema. Agar  ~ ,  ~  bo’lsa, lim ^  lim ^1

tenglik to’g’ridir.

1 1 _{ }

Haqiqatan

lim ^  lim ^{ 1 1}  lim ^ lim ^1 lim ^1  1 lim ^1 1  lim ^1 .

 ₁ ₁ 

₁ ₁ 

₁ ₁

17. 
    misol. lim ^{sin 5x}  lim ^5x  5.
    

x0 _x x0 _x

17. 
    misol. lim
    

tg 5x

 lim ^5x  ⁵ .

^x0 sin 7x

x0 _{7x 7}