Respublikasi oliy va

Yechish.

lim(3х 1)  3 2 1  7  0 . Shuning uchun:

x2

lim

2х  3

lim (2х  3)

₌ x2 _

2  2  3 _ 7

 1.

^x2 3х  1

lim (3х  1)

x2

3  2  1 7

7. 
   misol. lim ^{х  1}
   

x3 _{х  3}
ni toping.

Yechish.

Suratning limiti

lim(х  3)  3  3  0

x3
lim(х 1)  3 1  4  0

x3

bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi. bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini

topamiz:
lim

х  3

lim (х  3)

₌ x3 _

3  3 _ 0

 0 .

x3 _{х  1}

lim (х  1)

x3

3  1 4

Bundan

lim ^{х  1}  

x3 _{х  3}
kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz

katta funksiya bo’ladi.

Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x)  0 va

lim f (x)  b

xа

(b-chekli son) bo’lsa, u holda

b  0

bo’ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni

lim f (x)  b

xа

bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-

b|  |b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x)

funksiyaning

х  a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0

degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x)  0

bo’lsa

lim f (x)  0

xа

bo’lar ekan.

Shunga o’xshash limitga ega
mumkin.

f (x)  0

funksiya uchun

lim f (x)  0

xа

bo’lishini isbotlash

Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.

Teorema. Agar

х  а

da limitga ega

f₁(x) va

f₂ (x)

funksiyaning mos qiymatlari

uchun

f₁(x) 

f₂ (x) tengsizlik bajarilsa, u holda

lim

x а

f (x)  lim


1
x а

f₂ (x)

bo’ladi.

Isboti. Shartga ko’ra

f₁(x) 

f₂ (x) , bundan

f₁(x) - f₂ (x)  0. Oldingi teoremaga binoan


lim [ f₁(x) - f₂ (x) ]  0 yoki

x а

lim

x а

f (x) - lim


1
x а

f₂ (x)  0. Bundan

lim

x а

f (x)  lim


1
x а

f₂ (x)

tengsizlik kelib

chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan.

Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos

qiymatlari uchun u(x)  v(x)  z(x) tengsizliklar bajarilsa va

lim u(x)= lim z(x)=b bo’lsa, u holda

lim v(x)=b bo’ladi.

x а

x а

x а

Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan ^ >0 son uchun а nuqtaning

x а x а

₁ -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun

| u(x)  b | 

tengsizlik bajariladi. Shunga

o’xshash shu ^ >0 son uchun а ning

 ₂ -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun

| z(x)  b | 

tengsizlik bajariladi. Agar  orqali

₁ va  ₂

sonlarning kichigini belgilasak а

nuqtaning  -atrofidagi barcha х lar uchun Bular

| u(x)  b | 

va | z(x)  b | 

tengsizlik bajariladi.

   u(x)  b  

tengsizliklarga teng kuchli.

va    z(x)  b  

(17.1)

Endi teorema shartidagi u(x)  v(x)  z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli b  z(x)  b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).

u(x)  b  v(x)-

Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak

   u(x)  b  v(x)-b  z(x)  b  

yoki bundan

  <v(x)-b   tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning  -atrofidagi barcha х lar

uchun   <v(x)-b  

tengsizlik o’rinli ekan.

Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.

x а

Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.

8. 
   misol. lim sin x  0
   

x0

isbotlansin.

Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.

87-chizmadan: x>0 bo’lsa ^А^С sin x ; АС= sin x , АВ^=х ОА (markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< АВ^ yoki sin x <x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda | sin x |<|x| bo’lishi ravshan. Shunday qilib x>0 uchun 0x <x va x<0

87-chizma.

uchun 0<|sin x |<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik.

lim 0 lim x 0

ekanligini hisobga olsak 17.6-

teoremaga binoan
lim sin x  0

x0

x0
ekanligi kelib chiqadi.

x0

9. 
   misol. lim sin ^x  0 isbotlansin.
   

x0 ₂

Yechish. 0  sin ^x  sin x ekani ravshan. ^{lim 0 lim sin x 0}

bo’lgani uchun 17.6-

₂ x0

x0

teoremaga binoan lim sin ^x  0 yoki lim sin ^x  0

kelib chiqadi.

x0 ₂ x0 ₂

10. 
    misol. lim соsx  1
    

x0

ekanligi isbotlansin.

Yechish.

2s i ²n ^х  1  с o xs

2

yoki

сos x  1  2sin ^{2 х}

2

ekanligini e‘tiborga olsak

lim сos x 

^  2sin^{2 х } =

1 2lim sin^{2 х}  1  2  0²  1

hosil bo’ladi.

x0

^lim ¹ 

x0 _{ 2 }

x0 ₂

Birinchi ajoyib limit

sin x x

funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,

mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi

1. 
   ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning
   

0

х  0

dagi

limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.

Teorema.

sin x x

funksiya

х  0 da 1 ga teng limitga ega.

 _0, ^ 

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u

intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).

2
 

 

Chizmadan ko’rinib turibdiki,

 АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi<  DOB yuzi (17.2).

Biroq,  АОВ yuzi = ¹ ОА ОВ  sin x  ¹ 11sin x  ¹ sin x
(uchburchakning yuzi ikki tomoni va

2 2 2

ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).

АОВ sektor yuzi =

¹ ОВ²  АВ^  ¹ 1²  х  ¹ x ,

2 2 2

 DOB yuzi = ¹ ОВ  ВD  ¹ ОВ  ^BD  ¹ 1 tgx  ¹ tg x .

2 2 1 2 2

Shu sababli (17.2) tengsizliklar

2. 
   sin x  ¹ x  ¹ tgx ko’rinishni yoki ¹ ga qisqartirilgandan so’ng
   

2 2 2 2

sin x  x  tgx
ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz

^ 0  x  ^{ } . U

holda 1

х


sin x
_ 1

сos x

yoki

 

2
 

1 ^{sin x}  сos x

x

tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.

sin (x) _ sin x _,


сos( x)  сosx
ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham

( x) x

to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1  1 va

x0

lim соsx  1.

x0

Demak,

sin x x
funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga

teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan

oraliqdagi

sin x x
funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni
lim

x 0

sin x _=1.

x

_{у } sin x

x

funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.

sin x

11. 
    misol. lim
    

^{tg x} = lim


cos x _{= lim}

sin x


¹ = lim

sin x _lim

¹ =1 ¹  1.

x 0 _x

x 0 _x

x 0

x cos x

x 0

_x x 0

cos x 1

12. 
    misol. lim
    

sin mx _{= lim}

m  ^{sin mx} =m lim

^{sin mx} =m1=m (m-o’zgarmas son).

x 0 _x

x 0

mx ^{x 0} mx

sin  x _lim sin x

13. 
    misol. lim
    

sin x <sub>= lim


x =</sub> x 0 _x

= ^ .

x 0

sin x

x 0

sin x _lim ^{sin x} _

_x x 0 _x

88-chizma.