Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Xatoliklar nazariyasining teskari masalasi funksiyaning mumkin bo‘lgan xatoligiga ko‘ra argumentning mumkin bo‘lgan xatoligini topishdan iborat.
Bir o‘zgaruvchili y = f(x) funksiya uchun chegaraviy absolyut xatolikni quyidgi

formula bo‘yicha taqribiy hisoblash mumkin:
 _x 
f ^(x) ^1
, bu yerda
f ^(x)  0.

y
Ko‘p o‘zgaruvchili
u  f x₁, x₂,..., x_n 
funksiya uchun bu masala ba’zi cheklovlarda

yechiladi: agar argumentlardan birining qiymatini o‘lchash yoki berilgan aniqlikda hisoblash qiyin bo‘lsa, u holda aynan shu argument bo‘yicha xatolikni funksiyaning talab qilinayotgan xatoligi bilan moslashtirish lozim; agar barcha argumentlarning qiyatlarini ixtiyoriy aniqlikda aniqlash oson bo‘lsa, u holda teng ta’sir etish

prinsipini qo‘llash, ya’ni barcha ushbu
f _{ ,}
x_i ^xi
i  1, 2,..., n
qo‘shiluvchilarni

o‘zaro teng deb olish lozim. Barcha argumentlarning chegaraviy absolyut xatoligi

^ f
_1

quyidagi formuladan aniqlanadi:
 _xi
 ^ n _x ^
 _y ,
i  1, 2, ..., n .

 i 
Ustivorlik, korrektlik, yaqinlashuvchanlik. Agar boshlang‘ich ma’lumot- larning kichik o‘zgarishlariga yechimning ham kichik o‘zgarishi mos kelsa, u holda bunday yechim ustivor deyiladi. Ustivorlik bo‘lmagan joyda boshlang‘ich ma’lumotlarning ozgina o‘zgarishi ham yechimning juda katta xatoligiga yoki umuman noto‘g‘ri natijaga olib keladi. Bunday masalalar boshlang‘ich ma’lumotlarning xatoligiga sezgir masalalar deyiladi. Masalan, 1) Ushbu (x–a)ⁿ = ,
30

bunda 0 <  < 1, ko‘phadning ildishlarini topish masalasida tenglamaning o‘ng tarafidagi  tartibdagi qiymatga o‘zgarishi ildizning ^1/n tartibdagi xatoligiga olib keladi. Xususan, agar x⁶ = 10^-6 tenglamaning o‘ng tomonini 710^-6 ga oshirsak, ya’ni x⁶ = 810^-6 tenglamani qarasak, u holda ildiz 410^-2 ga (0,10 dan 0,14 gacha) oshadi.
2) Ushbu P(x) = (x–1)(x–2)...(x–20) = x²⁰ – 210x¹⁹ + ... Uilkinson misoliga ko‘ra ko‘phadning ildizlari x₁ = 1, x₂ = 2, ..., x_n = 20. Faraz qilaylik, ko‘phadning koeffisiyentlaridan biri biror kichik xatolik bilan hisoblangan. Masalan, x¹⁹ ning oldidagi –210 koeffisiyentni 2^-37 (10^-7) ga oshiraylik. Agar hisoblashlar natijasini 11 ta ma’noli raqamgacha aniqlik bilan hisoblasak, ildizlarning umuman boshqa qiymatlariga ega bo‘lamiz, bu ildizlarning yarmi mavhum bo‘lib qoladi. Bunday hodisaning sababi bu masalaning o‘zi noustivor ekanligida, chunki hisoblashlar 11 ta razryad aniqligida bajarildi va yaxlitlash xatoligi bunday natijalarga olib kelmaydi.
Masalani qo‘yishning muhim jihati bu uning korrekt qo‘yilganligida. Masala korrekt qo‘yilgan deyiladi, agar quyidagi uchta shart bajarilsa: istalgan boshlang‘ich ma’lumotlarda masalaning yechimi mavjud, yagona va ustivor bo‘lsa. Agar ana shu shartlardan birortasi bajarilmay qolsa, bunday masala nokorrekt qo‘yilgan masala deyiladi. Yuqorida keltirilgan ikkita noustivor masala nokorrekt qo‘yilgan masalalar. Bunday masalalarga sonli usullarni qo‘llash maqsadga muvofiq emas, chunki hisoblashlardagi yaxlitlash xatoligi hisoblash qadamlarida keskin oshib boradi va natijaning aniq yechimdan sezilarli chetlashishiga olib keladi. Ammo, shunga qaramasdan, bugungi kunda ba’zi nokorrekt masalalarni ham yechishning usullari ishlab chiqilgan. Bu, asosan, dastlabki masalani korrekt qo‘yilgan masalaga almashtirib olishga asoslangan bo‘lib, regulyarizatsiya usullari deb ataladi.
Hisoblash jarayonining aniqligini baholashning yana bir muhim xarakteristikasi bu sonli usullarning yaqinlashuvchanligi. Bu masalaning olinadigan sonli yechimi dastlabki yechimga yaqin ekanligini bildiradi. Iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligi va diskretlashtirish usulining yaqinlashuvchanligi tushunchalari bir-biridan farq qiladi.
Iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu jarayon biror masalani yechish uchun ketma-ket yaqinlashishlar usulini qurishdan iborat. Bu jarayon (iteratsiyalar)ning ko‘p marotaba takrorlanishi natijasida x₁, x₂, ..., x_n, ... ketma-ketlikka ega bo‘linadi. Bu ketma-ketlik x = a aniq yechimga yaqinlashadi deyiladi, agar iteratsiyalar soni cheksiz oshganda bu ketma-ketlikning limiti mavjud va u a ga teng bo‘lsa. Bu holda yaqinlashuvchi sonli usulga ega bo‘linadi (masalan, tenglamani sonli yechishning Nyuton usuli, iteratsiyalar usuli va hokazo).
Diskretlashtirish usullarining yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu usullarning g‘oyasi uzluksiz paramerlarga ega masalani funksiyalari fiksirlangan nuqtalarda hisoblanadigan masalaga keltirishdan iborat. Bu yerda yaqinlashish deganda diskret model yechimlari qiymatining mos ravishda boshlang‘ich masala
31
yechimlari qiymatiga diskterlashtirish parametrlari nolga intilganda yaqinlashishi tushuniladi (masalan, kvadratur formulalar).
Yaqinlashishni o‘rganishda uning eng muhim tushunchalari bu uning ko‘rinishi, tartibi va boshqa xarakteristikalari. Bu tushuncha quyida aniq sonli usullarni o‘rganishda qaraladi.
Shunday qilib, masalaning yechimini biror aniqlikda olish uchun uning qo‘yilishi korrekt bo‘lishi, uni yechish uchun qo‘llanilayotgan usul esa yaqinlashuvchanlikka ega bo‘lishi lozim ekan.