Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

f x^{(k )}  ε^{(k )}  0.

(3.3)

Faraz qilaylik, f(x)  bu x va x^(k) larni o‘z ichiga olgan biror qovariq D sohada

uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo‘lsin. (3.3) tenglamaning o‘ng tarafini
_ε(k )

• 
  kichik vektor darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz va bu qatorning chiziqli hadlari
  

bilangina cheklanamiz:
f x^(k)  ε^(k)  f x^(k)  f^x^(k) ε^(k)  0.


(3.4)

(3.4) formuladan kelib chiqadiki,
f ^(x)
hosila deb
x₁, x₂, ^

o‘zgaruvchilarga nisbatan matritsasi tushuniladi:
f₁, f₂ ,

• 
  funksiyalar sistemasining quyidagi Yakob
  

f ^(x)

= W(x) =

 ^f₁
^ x₁


^f₂
^ x₁
f₁
x₂
f₂
x₂
...

...
^f₁ 

x_n ^


f₂ ^
x_n ^ _,

^ ...
...
...
... ^

^f_n
f_n
f_n ^

^ x
_x ...
x ^

^ ^{1 2}
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak,
^{n }

 _fi 

f ^(x)
= W(x) = ^
_
 _,

x
j ^_
i, j  1, n .

(3.4) sistema bu xatolikni tuzatuvchi had
( k )


i
_i  1, n_
larga nisbatan W(x)

   
matritsali chiziqli sistema. Bundan (3.4) formulani quyidagicha yozish mumkin:
_{f x}(k) _{ W x}(k) _ε(k) _{ 0.}

Bu yerdan, bo‘lamiz:
^{Wx(k ) }  maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib, quyidagiga ega
_ε(k) _{ W}1_x(k) _{f x}(k) _.

Natijada ushbu
_x(k 1) _{ x}(k) _{ W}1_x(k) _{f x}(k) _,


k  0,1, 2,


. (3.5)

111

Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda x⁽⁰⁾  nolinchi yaqinlashish sifatida izla- nayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (3.1) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar (3.5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi:
_x(k 1) _{ x}(k ) _{  . (3.6)}


Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulin- ing algoritmini quyidagicha yozamiz: x^(0)  boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi. Ildizning qiymati (3.5) formula bo‘yicha aniqlashtiriladi. Agar (3.6) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x^(^k^+1)  (3.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 2-qadamga o‘tiladi. Hisoblashlarda (3.1) nochiziqli tenglamalar sistemasining f(x) funksiyalari va ularning hosilalari matritsasi W(x) aniq berilgan geymiz, u holda bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.2-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi. f(x) vektor-funksiya x ildizi atrofida ikki mar- tagacha uzluksiz differensiallanuvchi, Yakob matrit- sasi W(x) maxsus bo‘lmagan (aynimagan), ko‘p o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:

3.2-rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usu- lining algoritmi.

_x(k 1) _{ x  C x}(k ) _{ x} ² _.
Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.
Xususiy hol. Hisoblash amaliyotida n=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masa-
lan, f(z)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mum- kin. Haqiqatan ham, agar ushbu
^{f1(x, y)  Re f x  jy} va ^{f2 (x, y)  Im f x  jy}
funksiyalarni kiritsak, z - kompleks ildizning x – haqiqiy qismi va y – mavhum qismi quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishdan hosil bo‘ladi:
 ^{f1(x, y)  0;}

f

 2
^ (x, y)  0,
112
(3.7)

bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida ^ aniqlik bilan bajaraylik.

D sohaga tegishli
X ₀  (x₀ , y₀ )
- nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz. (3.4)

dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:

^f1 (x  x
x ⁰
)  ^f1 ( y  y
y ⁰
)   f₁
(x₀
, y₀ );

(3.8)

^f2 (x  x
x ⁰
)  ^f2 ( y  y
y ⁰
)   f₂
(x₀
, y₀ ).

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
x  x₀  x₀ ,


y  y₀  y₀

. (3.9)

(3.8) sistemani
x₀ ,
y₀
larga nisbatan, masalan, Kramer usuli yordamida

yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz:

x₀
 ^1 ,
J
y₀
 ^2 ,
J
(3.10)

bu yerda (8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha:
J   0 ^{, (3.11)}

(3.8) sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha:



• 
  f (x , y )
  

_{ } f₁(x₀ , y₀ )
1 0 0

 

2
¹  f
(x₀
; ₂
, y₀ )

• 
  f₂
  

(x₀
.
, y₀ )

x₀ ,
y₀
larning topilgan qiymatlarini (3.9) ga qo‘yib, (3.8) sistemaning

X₁  (x₁, y₁ )
- birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz:

x₁  x₀  x₀ , y₁  y₀  y₀ . (3.12)
Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz:
^{max( x0 , y0 )  } . (3.13)

Agar bu shart bajarilsa, u holda
X₁  (x₁, y₁ )
birinchi yaqinlashishni (3.8) sisteman-

ing taqribiy yechimi deb, hisoblashni to‘xtatamiz. Agar (3.13) shart bajarilmasa, u

holda
x₀  x_{1 ,}
y₀  y₁
deb olib, yangi (3.8) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini

tuzamiz. Uni yechib,
X ₂  (x₂ , y₂ )
- ikkinchi yaqinlashishni topamiz. Topilgan

yechimni ^ ga nisbatan (3.13) bo‘yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda

(3.8) sistemaning taqribiy yechimi deb
X ₂  (x₂ , y₂ )
ni qabul qilamiz. Agar (3.13)

shart bajarilmasa, u holda
^{x1  x2} ,
y₁  y₂
deb olib,
X ₃  (x₃ , y₃ )
ni topish uchun

113

yangi (3.8) sistemani tuzamiz va hokazo. Bu sistemani yechishning blok-sxemasi 3.3- rasmda tasvirlangan.
3.3-rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi.
1-misol. Ushbu


f₁ x, y  x⁵  y³  xy 1  0^
f₂ x, y  x² y  y  2  0 _

tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni
X₀  (x₀ , y₀ )
= (2; 2) deb olib,

uning aniq yechimi
X  (x, y)
= (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida aniqlang.
114

Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi yaqinlashishlarni

X_k  (x_k , y_k ) , orttirmalarni esa
X_k
 (x_k , y_k )
deb, quyidagi jadval shaklida

ifodalaylik (3.1-jadval). Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi – verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista iter- atsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini
_ 0,032 0,0_

B  

0,0

0,9_

boshlang‘ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda taqqos- lanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.
3.1-jadval.

k

xk

yk