Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

q  ^a0 ,
b₀ ( p, q)
_{p } a₁  qb₁ ( p, q) _{. (2.16)}
b₀ ( p, q)

Shuni ta’kidlash lozimki, (2.16) tenglamalar sistemasining o‘ng qismlari analitik shaklda berilmagan bo‘lib, har bir (p,q) argumentlar qiymatlari juftligi uchun b₁ va b₀ qiymatlarni hisoblash algoritmi shaklidadir. Ana shunday amaliy tadbiq ko‘plab amaliy masalalarni yechishda uchraydi. Tenglamalarni yozishda bunday analitik shakllarning berilmaslik holati ularni yechishga to‘sqinlik qilmaydi.
Agar (2.16) tenglamalar sistemasi oddiy iteratsiya algoritmi bilan yechilsa, u holda dastlabki (2.11) tenglama uchun qo‘llaniladigan sonli usul Lin usuli deb ataladi. Bunda (p₀,q₀) boshlang‘ich yaqinlashishdan bog‘liq iteratsiyalar quyidagi formulalar bilan bajariladi:
^{q  a0 , p  a1  qk b1 ( pk , qk )} . (2.17)

k 1
b₀ ( p_k
, q_k )
k 1
b₀ ( p_k
, q_k )

Oddiy iteratsiyalar o‘rnida Zeydel algoritmidan foydalanish mumkin. U holda (2.17) iteratsion formulalardan ikkinchisi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

100

_{p } a₁  q_{k 1}b₁ ( p_k , q_{k 1} ) _.

k 1
b₀ ( p_k
, q_{k 1} )

Bu iteratsion jarayon har qanday holatda ham toki ushbu
 
(bunda  - yechimning aniqligini ifodalovchi kichik miqdor) shart bajarilgunga qadar yoki iteratsiyalar soni yetarlicha katta bo‘lgunga qadar davom ettiriladi. Oxirgi holat, ya’ni iteratsiyalar sonining juda katta bo‘lib ketishi iteratsiyalarning uzoqlashuvchi ekanligini va (2.16) sistema yechimga ega emasligini bildiradi.
Bertstou usuli ham xuddi yuqoridagidek kvadratik ko‘paytuvchini ajratishga asoslangan bo‘lib, bunda (2.16) ikkita tenglamalar sistemasi Nyuton usuli bilan yechiladi. Bu yerda ham iteratsiyalarning yaqinlashuvchanligi masalasi juda ham jiddiy holat.

Usullar bo‘yicha end muhim xulosalar quyidagilar:

1. 
   Ildizlarni ajratish.
   
   • 
     ildizlarni ajratish yagona ildiz yotgan oraliqni topish imkonini beradi, bu esa ildizlarni aniqlash usullarining ishlashi uchun imkoniyat yaratib beradi;
     
   • 
     funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalari, ya’ni uzilish nuqtalari un- ing kritik nuqtalariga kiradi, shuning uchun funksiyaning ildizlarini analitik usulda ajratish mumkin;
     
   • 
     izolyatsiyalangan ildiz yotgan interval topilgandan so‘ng hisoblashlarni ka- maytirish maqsadida (masalan, bu intervalning chegaralaridan biri cheksizlik- da yotgan bo‘lsa) argumentning ixtiyoriy qiymatini berish orqali bu intervalni qisqartirish mumkin va bunda funksiyaning ishorasini tekshirish lozim; agar shu intervalda yagona ildiz yotganligiga ishonch yo‘q bo‘lsa, bunday qilmagan ma’qul;
     
   • 
     ildizlarni analitik usulda ajratishning asosida yotgan kritik nuqtalar bu funksiyaning birinchi hosilasi nolga teng yoki u mavjud bo‘lmagan nuqtalar;
     
   • 
     agar shu intervalda funksiyaning bitta kritik nuqtasi mavjud bo‘lsa, unda bu intervalda shu funksiyaning: ikkita ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar funksi- yaning x va x- dagi ishorasi bir xil va uning kritik nuqtasidagi ishorasiga qarama-qarshi bo‘lsa); bitta ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar funksiyaning x yoki x- dagi ishorasi uning kritik nuqtasidagi ishorasi bilan mos tushsa); ildizi bo‘lmasligi mumkin (agar funksiyaning yuqorida qayd qilingan barcha nuqtalarida ishoralari bir xil bo‘lsa);
     
   • 
     fuksiyaning kritik nuqtasini topish uchun f '(x) = 0 chiziqli bo‘lmagan teng- lamani yechish zarurati tug‘ilishi mumkin; bu albatta qiyin, chunki ildizlarni ajratishning bu holi xuddi dastlabki f(x) = 0 chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish kabi hol degani.
     

101

2.