Республика илмий-амалий масофавий онлайн конференцияси

РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Дж.Х.Хусанов, Ж.И.Буранов, А.Бердияров
Тошкентский государственный технический университет, кандидат физико-математических наук, профессор
Академический лицей Ташкентского государственного технического университета, преподаватель математики, [e-mail]
Джиззакский политехнический институт, кандидат физико-математических наук, доцент
Технический прогресс человечества всегда подчинён задаче не просто выполнения поставленной цели, а выполнению её с наименьшими затратами и наибольшим результатом, то есть рациональному, оптимальному выполнению задачи. Современный этап развития – не исключение. Мало предложить к внедрению тот или иной процесс, или алгоритм, важнее обосновать его целесообразность и эффективность по сравнению с уже имеющимися процессами. Математический анализ является одним из инструментов такого строгого обоснования.
Основы навыков поиска оптимального решения закладываются уже в школьном курсе математики. В учебниках алгебры для 9 класса общеобразовательной школы нередко встречаются занимательные задачи по нахождению экстремальных (наибольших или наименьших) значений функции [1]. Надо подчеркнуть, что ученики этого, значительного уже, возраста только начинают знакомиться с ними. С полным набором инструментов они встречаются лишь в выпускных классах при изучении основ дифференциального исчисления. В учебнике для 11-класса [2] производная вводится в 1 полугодии. К этому времени мотивация к изучению математики бывает безвозвратно утеряна, так как выпускникам предстоят важные события, такие как подготовка к государственным выпускным экзаменам в школе и вступительным в университете.
Между тем, решение экстремальных задач может стать эффективным инструментом формирования и развития творческих математических умений учащихся. Разумеется, школьников следует «вооружить» математическими инструментами для решения оптимизационных задач различного уровня без преждевременного использования производной. Именно в 9 классе вводится понятие квадратичной функции. Использование её экстремальных свойств бывает, зачастую, вполне достаточным для решения оптимизационных задач, предлагаемых в курсе дифференциального исчисления.
Напомним основные факты, связанные с использованием квадратичной функции как инструмента решения задач на экстремум [3].
Функция называется квадратичной, в случае, если ее можно задать формулой , где - независимая переменная, , и − некоторые действительные числа (коэффициенты), причем . Областью определения квадратичной функции является вся числовая ось: ; множество значений − луч: либо , либо . Квадратичную функцию удобно исследовать в виде, содержащем выделенный полный квадрат: . Возможны два случая:

1. 
   Если , то слагаемое всюду положительно и лишь при обращается в нуль. Поэтому функция y имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего, причем, –единственная точка минимума.
   
2. 
   Если , то уже наибольшее значение функции достигается при , а наименьшего значения не существует. Тогда – единственная точка максимума.
   

Описанное выше можно обосновать графически. Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола с ветвями, направленными вверх или вниз, в зависимости от знака старшего коэффициента. Очевидно, что наименьшим (при ) или наибольшим (при ) значением функции будут значения на вершине параболы.
Обобщенно наименьшее и наибольшее значения называются экстремальными значениями функции. Сказанное выше можно выразить в форме теоремы, являющейся основной для решения экстремальных задач с использованием свойств квадратичной функции без использования производной.