Reja: Yuqori tartibli hosilaning mavjudligi

5. Parametrik ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik, x argumentning y funksiyasi quyidagicha
(5)
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin.
Agar x=j(t) funksiya teskarilanuvchi bo‘lsa, ya’ni  mavjud bo‘lsa, u holda y=y(t) tenglamani y=y( ) ko‘rinishda yozib olish va y=y( ) funksiyaning hosilasini topish masalasini qarash mumkin. Odatda bu masala parametrik tenglamalar bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish masalasi deb ham yuritiladi.
8.11-teorema. Aytaylik, j(t) va y(t) funksiyalar [a;b] da uzluksiz va (a;b) da differensiallanuvchi hamda j’(t) shu intervalda ishorasini saqlasin. Agar x=j(t) funksiyaning qiymatlar to‘plami [a,b] kesma bo‘lsa, u holda x=j(t), y=y(t) tenglamalar [a,b] da uzluksiz, (a,b) da differensiallanuvchi bo‘lgan y=f(x) funksiyani aniqlaydi va
(6)
formula o‘rinli bo‘ladi.
1⁰. Koshi tеorеmasi komplеks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasining fundamеntal tеorеmasi hisoblanadi. Uni isbotsiz kеltiramiz.
2-tеorеma. (Koshi tеorеmasi). Agar funksiya bir bog’lamli D sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning D sohada yotuvchi har qanday silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha intеgrali nolga tеng bo’ladi:
. (1)
1-teoremani quyidagicha ham ifodalash mumkin.
2-teorema. Faraz qilaylik, bir boglamli, chegarasi to’g’rilanuvchi yopiq chiziqdan tashkil topgan soha bo’lsin. Agar funksiyasi sohaning yopig’i ning biror atrofida golomorf bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu teoremani funksiya faqat da golomorf bo’lgan hol uchun ham isbotlash mumkin.
3-teorema. bir bog’lamli, chegarasi to’g’rilanuvchi soha bo’lib, funksiyasi da golomorf, da uzluksiz bo’lsin. U holda

bo’ladi.